逼近方法

Approximation Method

數學經常被描述成一門討論抽象世界（觀念或符號）的學問，但是除了希臘歐氏幾何學的異例，從數學史的觀點來說，不論是早期的各文化發展出來的數學，或是晚近以西方數學為主的數學，其「利用厚生」的色彩，作為現實生活應用的工具的角色，仍然舉足輕重。

以圓周率π為例，「徑一周三」是先民素樸的估計值，祖沖之的約率 $= \frac{22}{7}$ ，密率 $=\frac{355}{113}$ 也還是實用的近似值。事實上人類要到十九世紀才知道π是一個無理數、超越數。從實用到抽象的光譜中，一端是「徑一周三」的粗略估計，另一端是像歐拉公式 $e^{i\pi}+1=0$ 般的「理想」等式。

從實用的觀點，過分精確並不是美德，對又快才是目標。在數學中處理這問題的領域，稱為逼近理論與數值分析。將以實數，無窮步驟為本的數學，轉換為以有理數，有限步驟為本的另一種數值數學。通常它的課題常牽涉到兩個層次

(1)逼近的層次：要徹底掌握下列的等式

$\begin{displaymath}\mbox{{\MbQ\char 220}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MbQ\c... ...Q\char 207}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MeQ\char 207}}(n)\end{displaymath}$

其中 n 是可控的參數，而誤差 (n) 會隨著 n 變大而趨近於 0，因此這裡的問題既牽涉到如何構作逼近式，同時也要能瞭解誤差式的性質。最典型的例子是泰勒定理。

(2)效率的層次：同樣的理想數（式）可能有不同的逼近式，怎樣才能在計算的速度上最佳化，也是一個重要的實際課題。

由於逼近顯然牽涉到極限的觀念，因此微積分的課題中提供了基本又豐富的素材。例如：

(1)數的逼近:

$\begin{eqnarray*} \pi & = & 4(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots) \\ ... ...c{1}{3}\frac{1}{239^3}+ \frac{1}{5}\frac{1}{239^5}-\cdots) \: ] \end{eqnarray*}$

（後者比前者的逼近的速度要快多了）

(2)函數的逼近式：

$\begin{eqnarray*} e^x &\doteq & 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+\cdots+ \fra... ...Q\char 215}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MbQ\char 118})}\\ \end{eqnarray*}$

(3)定積分的數值逼近：以 Simpson 法為例

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx &\doteq& \frac{b-a}{3n}(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)\\ &&+\cdots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1}))+f(x_n)) \end{eqnarray*}$

其中 $a=x_0<x_1<x_2< \cdots < x_n =b$ , $x_i-x_{i-1}=\frac{b-a}{n}$ ，且 n 為偶數。Simpson 法的誤差會 $\leq \frac{(b-a)^5}{n^4}\frac{M_4}{180}$ ，其中 M₄ 是 f⁽⁴⁾(x) 在 [a,b] 中的最大值

(4)方程式根的求法：牛頓法， $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 。

(5)微分方程的數值解：如歐拉法。

逼近方法所牽涉到的微積分的觀念，包括線性逼近、泰勒定理、插值法與差和分的觀念。

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（撰稿：翁秉仁∕台大數學系）

相關網頁：

數學條目：冪級數

談補間法（王九逵）


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編輯：朱安強

最後修改日期：8/30/2001