泰勒定理的奇聞軼事

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．原載於科學月刊第三十一卷第四期
．作者當時任教於台大數學系

泰勒定理的奇聞軼事

蔡聰明

泰勒展式 (Taylor expansion) 的剩餘項救人一命！

在俄國革命期間（1917年左右），數學物理學家塔姆 (Igor Tamm) 外出找食物，在靠近敖德薩 (Odessa) 的鄉間被反共產主義的保安人員逮捕。保安人員懷疑他是反烏克蘭的共產主義者，於是把他帶回總部。

: 頭目問：你是做什麼的？
: 塔姆：我是一位數學家。

頭目心存懷疑，拿著槍，手指扣著扳機，對準他。手榴彈也在他的面前晃動。

: 頭目說：好吧，那麼一個函數作泰勒展開到第 n 項之後，你就把誤差項算出來。如果你算對了，就放你一條生路，否則就立刻槍斃。

於是塔姆手指發抖，戰戰兢兢地慢慢計算，當他完成時，頭目看過答案，揮手叫他趕快離開。

塔姆在1958年獲得諾貝爾物理獎，但是他從未再遇到或認出這位非凡的頭目。

筆者講授微積分，每教到泰勒定理時，都要順便說這個故事，讓學生警惕一番。

泰勒展開定理就是要利用微分與積分工具，來剖析函數的結構。

假設函數 f 定義在開區間 (a,b) 上，並且 $c\in(a,b)$ ，當我們知道 f 的資訊越多，對 f 的剖析就越精細。

這個資訊包括兩方面，一個是 f 的可微分的階數逐漸提高，這是一種泛泛的條件；另一個是 f 在一點 c 的各階微分係數的階數也不斷增加，這是在一點（局部）的資訊之逐漸加深。

(i) 若 f 為一階連續可微分，並已知 f(c) 之值，那麼由微積分根本定理的 Newton-Leibniz 公式知

$\begin{displaymath}f(x)=f(c)+\int_c^x f'(t)dt\eqno{(1)}\end{displaymath}$

亦即 f(x) 可以剖析為清楚的 f(c) 與尚未完全清楚的 $\int_c^x f'(t)dt$ 兩項之和。

(ii) 若 f 為二階連續可微分，並且已知 f(c) 與 f'(c) 的值，那麼由(1)式與分部積分公式得知

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&f(c)+\int_c^x\,f'(t)dt \\ &=&f(c)-\int_c^x\,f'(t)d(x-... ...[ \, (x-t)f'(t) \big{\vert}_c^x-\int_c^x\,f''(t)(x-t)dt \, \big] \end{eqnarray*}$

從而

$\begin{displaymath}f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\int_c^x f''(t)(x-t)dt\eqno{(2)}\end{displaymath}$

亦即 f(x) 可以剖析為清楚的一次多項式 f(c)+f'(c)(x-c) 與尚未完全清楚的 $\int_c^xf''(t)(x-t)dt$ 。

(iii) 若 f 為三階連續可微分，並且已知f(c), f'(c) 與 f''(c) 之值，那麼由(2)式與分部積分公式得知

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&f(c)+f'(c)(x-c)-\int_c^x\frac{f''(t)}{2!}d(x-t)^2 \\ ... ...ig{\vert}_c^x - \int_c^x\frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^2dt \, \big] \end{eqnarray*}$

從而

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} f(x) &= f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-... ...\int_c^x\frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^2dt \end{eqalign}\eqno{(3)} \end{displaymath}$

亦即 f(x) 可以剖析成清楚的二次多項式

$\begin{displaymath}P_2(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2\eqno{(4)}\end{displaymath}$

與尚未完全清楚的剩餘項

$\begin{displaymath}R_3(x)=\int_c^x\frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^2dt\eqno{(5)}\end{displaymath}$

利用積分的平均值定理，(5)式又可以寫成

$\begin{displaymath}R_3(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-c)^3\eqno{(6)}\end{displaymath}$

我們稱 P₂(x) 為二階泰勒多項式。

按上述要領，繼續做下去（數學歸納法），我們就得到如下美麗的泰勒展開定理。

泰勒展開定理（1715年）：

設函數 f 在區間 (a,b) 上具有 n+1 階連續地可微分， $c\in(a,b)$ ，則對任意 $x\in(a,b)$ ，f(x) 可以展開成

$\begin{eqnarray*} f(x) & = & f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots \\ & & {} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n+R_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$

其中的剩餘項（或誤差項）R_n+1(x) 可以表成微分形式或積分形式：

$\begin{displaymath}R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}\end{displaymath}$

其中 ξ 介於 c 與 x 之間，或

$\begin{displaymath}R_{n+1}(x)=\int_c^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt\end{displaymath}$

註：泰勒（B. Taylor, 1685～1731）是牛頓的學生，具有相當的音樂與藝術才華。他為了探求音律之謎，首開其端用微積分來研究弦振動問題（1713年），約一個世紀之後，富立葉（Fourier）分析出現才達於高潮（1807年）。泰勒也研究投影畫法的幾何學，其美術作品至今仍然被珍藏於倫敦的國家畫廊（the National Gallery）之中。

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編輯：李渭天

最後修改日期：2/17/2002