自然哲學的數學原理

．原載於科學月刊第十八卷第七期
．作者當時任教於台大數學系

自然哲學的數學原理

曹亮吉

牛頓發表萬有引力學說迄今已有三百年之久。近三百年來科學突飛猛進，數學占著不可或缺的角色。我們想介紹萬有引力學說的建立過程，以點明數學與自然科學間的密切關係。

在牛頓之前，運動學有兩支：一是天上的，由 Kepler 的三個運動定律所統攝；一是人間的，是 Galileo Galilei 所描述的落體運動。1665及1666兩年，大學剛畢業的牛頓，住在鄉閒農場躲避瘟疫，開始認真思考運動學的問題。他想蘋果掉地可解釋為地球有個力量拉著蘋果，那麼行星繞日運動是否可解釋為太陽有個力量拉著行星呢？這樣的力量，其方向及大小該是如何呢？牛頓斷斷續續探索這個問題，一直到1684年才確立了萬有引力的想法與計算公式。由於探索過程曲曲折折，這方面的文獻有爭議之處甚多，我們只能把這將近二十年的探索過程做一濃縮，以較邏輯的順序呈現-科學歷史的細部發展有時並不按邏輯順序的。

牛頓仔細玩賞 Kepler 的三個運動定律，想從其中看出一些名堂。第一運動定律說，行星的軌道為橢圓，太陽居其兩焦點之一。第二運動定律說，行星與太陽的聯線在定時間內掃過相同的面積。第三運動定律說，對所有的行星而言，其週期 T 與軌道的平均半徑（即半長軸）R 都有如下的關係： T²/R³ 為定比（不因行星而不同）。

牛頓仔細推敲的結果，發現從 Kepler 的第二運動定律－面積律，居然可以推出太陽的引力是向心的（即指向太陽）。反過來，假定了向心力，面積律就成為必然的結果。

圖一

如圖一，假定經過一秒鐘後，行星從 P₀ 走到 P₁。假定太陽 S 並沒對行星施以任何力量，則根據 Galilei 的慣性原理，行星會繼續走直線等速運動。因此在下一秒鐘，從 P₁ 走到 P₂ 的距離 P₁ P₂ 與 P₀ P₁ 相等。兩三角形 $\triangle S P_0 P_1$ 與 $\triangle S P_1 P_2$ 因為等底等高，所以面積相等，亦即面積律成立。

圖二

然而行星並不走直線。如圖二，假定第二秒鐘，從 P₁ 走到 P'₂，則行星改變的方向為 P₂P'₂；若假定了面積律，則 $\triangle S P_1 P'_2$ 與 $\triangle S P_0 P_1$ 相等，也因此與 $\triangle S P_1 P_2$ 相等。所以 P₂ P'₂ 與 S P₁ 平行，因此得到引力是向心的結論。反之，若假定了向心力，則 P₂ P'₂ 與 S P₁ 平行，因此 $\triangle S P_1 P'_2$ 與 $\triangle S P_1 P_2$ 相等，也因此與 $\triangle S P_0 P_1$ 相等，故得面積律。

以上的想法是簡化了些；較嚴密的論證，則以上面的想法為基礎，加上極限的過程，就可完成。從物理的直觀，很難看出面積律與向心力是等價的，然而簡單的數學論證馬上就得到這個重要的結論。

解決了引力的方向，牛頓想要決定引力的大小。牛頓做了粗略的估計如下：行星運行的軌道大致為圓形，半徑大約為 R。運動大致是等速的，其角速度假定為 ω，則向心力為 $mR\omega^2$ ， m 為行星的質量。但因 $\omega T=2\pi$ ，而且 T²/R³=k 為定值－Kepler 的第三運動定律（週期律），所以

$\begin{displaymath} mR\omega^2 = mR(\frac{2\pi}{T})^2 = \frac{4\pi^2m}{R^2}\cdot\frac{R^3}{T^2}=\frac{4\pi^2m}{kR^2} \end{displaymath}$

如此，牛頓猜出了平方反比律：引力的大小與距離的平方成反比。

不但太陽系的行星遵行 Kepler 的運動定律，木星的衛星相對於木星也是，月球也圍繞著地球轉。似乎任何兩物體之間都有引力存在。然則這些引力和使蘋果掉地的力是否遵行同樣的法則？

因為受到地心引力的影響，地面附近的物體呈拋物線運動，其向心加速度為 32呎/秒²。水平速度愈大，則飛行愈遠才落地，而當大到一個程度後，它會繞著地球轉(見圖三)，所以月球繞地球旋轉似乎和蘋果受到同樣的地心引力。

圖三

已知月球距地心為地球半徑的60倍，所以，引力若遵行平方反比律，則月球的向心加速度為32呎/秒² 的 1/60²。另一方面，月球週期已知，只要地球大小知道，月球近乎圓形的軌道大小就可得，而其向心力（或向心加速度）就可算得。如果這兩種算法所得的結果相近，則平方反比律就不只是太陽的引力，而是萬物間的引力都要遵行的。計算的結果，牛頓發現兩者有點出入。有些科學史家認為牛頓另外還有個煩惱：他無法確定，求一個均質球體對一質點的引力，是否可以把質量集中在球心而為之。有了這些困難，牛頓不敢驟而確立萬有引力原理，甚且暫時放棄了引力的研究。

到了1684年，Hooke 遇到 Wren 及 Halley 等人，宣稱他已得到星球運行的引力法則。Wren 不信，願意提供獎金給能夠解決這個問題的人。Halley 向牛頓提起這個問題，並問道：假如是平方反比律，那麼行星的軌道是什麼？牛頓馬上答道：橢圓。你怎麼知道的？我早就算過了。於是牛頓向 Halley 提起他在這方面的探索結果。 Halley 覺得很有意思，要牛頓再試一次。

Picard（Jean, 1620～1682年）利用 Erathosthenes 測量地球大小的原理，只是用一顆恆星代替了太陽，而於1671年得到更正確的地球半徑長3950哩（很接近於現值），所以牛頓可以重新計算月球的向心加速度：

$\begin{displaymath} \begin{array}{rll} T &= \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{... ...mily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 148}}^2 & \end{array}\end{displaymath}$

此向心加速度正好是地面向心加速度32呎/秒²的1/60²。這是支持引力之萬有的想法，及引力都遵行平方反比律的最好例證。

圖四

前面提到的牛頓的煩惱是個積分技巧的問題，現在他也能夠順利解決: 假設萬有引力常數（在適當的單位取法下）為 1，球半徑為 R，距球心 ρ 處的密度為 $f(\rho)$ （只與距離 ρ 有關），質點 P 的質量為 m，其到球心的距離為 p(>R)，則球的質量為 $M=\int_0^R4\pi\rho^2f(\rho)d \rho$ ，而把質量集中在球心後對質點 P 的引力為 Mm/p²。若不集中，用球坐標（見圖四），則球上一小體積 $\rho^2\sin \theta d\phi d\theta d\rho$ 對距離 r 處質點 P 的引力在 OP 方向的分力為（因為對稱的關係，只要考慮這個方向就好了）：

$\begin{displaymath} \cos\alpha\frac{mf(\rho)}{r^2}\rho^2\sin\theta d\phi d\theta d\rho \end{displaymath}$

所以整個球對質點 P 的引力為

$\begin{displaymath} \int_0^R\int_0^\pi\int_0^2\pi\cos\alpha\frac{mf(\rho)}{r^2}\rho^2\sin\theta d\phi d\theta d\rho \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} =2\pi m\int_0^R\int_0^\pi\cos\alpha\frac{f(\rho)}{r^2}\rho^2\sin\theta d\theta d\rho \end{displaymath}$

α 與 r 都和 θ、ρ 有關，所以該化成為它們的函數，才能開始積分。然而這樣的積分是積不出來的，這正是牛頓當初的煩惱。

解決之道在於把變數θ及α都換成變數r：

$\begin{displaymath} \cos\alpha=\frac{p^2+r^2-\rho^2}{2pr},2p\rho\cos\theta=p^2+\rho^2-r^2 \end{displaymath}$

由後一式得

$\begin{displaymath} 2p\rho\sin\theta d\theta=2rdr, \mbox{{\fontfamily{cwM3}\font... ...{m}\selectfont \char 185}}\sin\theta d\theta=\frac{r}{p\rho}dr \end{displaymath}$

將這些式子代入積分式得

$\begin{eqnarray*} &&2\pi m\int_0^R\int_{p-\rho}^{p+\rho}\frac{p^2+r^2-\rho^2}{2p... ...frac{m}{p^2}\int_0^R4\pi\rho^2 f(\rho)d\rho\\ &=&\frac{Mm}{p^2} \end{eqnarray*}$

解決了煩惱後，萬有引力公式再也沒有疑問，因為牛頓早已能由萬有引力公式推演出 Kepler 的三個運動定律。於是他開始編寫《自然哲學的數學原理》一書，並於1687年（七月五日）出版。

此書共有三冊。第一冊首先定義什麼是慣性、動量、力，然後陳述三個運動定律──即通常所說的牛頓運動定律（其實前兩個定律，Galilei、Descartes 就已提出；第三定律：作用力等於反作用力，則為牛頓的）。接著牛頓討論一些微積分的定理，但以古典的幾何方式加上極限的概念表現。介紹了新的數學工具後，牛頓就開始討論平方反比向心力與 Kepler 運動定律之間的互導、橢圓及橢圓運動的性質、各種擺線的幾何性質（和引力有關）、兩物體間因引力而起的運動（不假定其中之一因質量非常大而看成靜止）、球體對質點的引力（牛頓的煩惱）及三體運動等等。討論的方式是純數學式的，並不把所得的結果與自然的現象相印證。

第二冊所討論的是阻力之下的運動，是流體力學的開端。有些地方假定阻力與速度成正比，或與速度的平方成正比，或兩者的混合。由此可見牛頓有時喜歡做純數學式的演繹。

第三冊則把第一冊的數學結果用到自然現象上。譬如根據觀測，木星的衛星繞木星運行的確符合 Kepler 的面積律，因此由第一冊的結果得知，吸引衛星的引力應該是向著木星的。又因衛星也符合週期律，所以由第一冊的結果如此向心引力更遵行平方反比律。也就是說，吸引衛星的引力也符合萬有引力公式。用這種方式的推論，牛頓得到許許多多結果。有些結果可以解釋已知的現象，譬如潮汐、月球的不規則運動、歲差等等；有些則預測一些未知的現象，譬如人造衛星。

其實 Hooke 等人早也猜到平方反比律，但他們沒有良好的數學工具，所以推演不出 Kepler 的運動定律，更何況是其他的結果。牛頓擁有應付動力學的利器微積分，得以完成此一曠世巨著。就如其書名所示，這本書的主旨是用數學的語言來描述、來推敲自然的現象。哥白尼開始的科學革命，終於在牛頓的手中成了氣候，而為此後三百年的科學進展奠下深厚的基礎。

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002