曹亮吉

1976年，美國立國兩百年之際，美國數學會在年會上邀請多位學者專家， 暢談美國的數學發展史，事後將講稿集成《美國數學兩百年紀念》 （The Bicentennial Tribute to American Mathematics）一書。 我們想根據這本書，談談美國如何從數學的蠻荒地，演變成今日數學的超級強國。

從十七世紀開始，歐洲有大批的移民來到美洲。雖然同時期的歐洲開始了科學革命， 數學急速發展起來，美洲的移民卻胼手胝足，為其生活奮鬥，科學及數學的園地自然就像其土地一樣，還是一片蠻荒。這種情形一直到十八世紀完了幾乎都沒有什麼改變 ，1803年哈佛大學的入學考試只考最基本的算術就是一個明證。

十九世紀的前半，在美國流行著兩種想法，自然神學 (Natural Theology) 及培根哲學 (Bacanian Philosophy)，使得科學，雖然不一定是數學，有所進展。自然神學認為人可經由發現自然的規律而沐浴於神的榮耀，確認神的存在。這種想法是清教徒世界觀的一部分，當然大大影響了十七、八世紀新大陸的學校， 也鼓勵了十九世紀的美國從事科學工作。

培根哲學則強調三件事：收集資料；不可能有一以貫之的大道理；科學以改善人類福祇為目標。在一片開疆拓土聲中，這兩種想法使他們發展了天文學、動植物學及地質學，以標定並了解日益擴張的新大陸。

雖然牛頓的傳統使得英國在科學革命的初期占有非凡的地位，然而由於英國堅持牛頓笨拙的微積分符號，自外於歐洲大陸的科學發展，十八世紀的數學重心就移往歐洲大陸。雖然自然神學與培根哲學這兩種想法都鼓勵科學的研究，也不排斥數學，但其想法及大部分移民的來源地英國，卻無法提供數學教育的典範。

在這樣的情況下，唯一對數學發展有所刺激的是測量及天文。美國是新的地方，需要測量來標定海岸線及內陸各地，需要航海圖及航海知識使船艦方便來往。這些工作的科學基礎在於天文學及相關的數學。 美國獨立之後的第一位數學家 Bowditch（1773∼1838年），自己學會了一些數學，寫了一本《美洲實用航海》(American Practical Navigator)。 後來他將法國數學家 Laplace（1749∼1827年）的巨作《天體力學》(Mécanique Céleste) 譯成英文並做評註。 從航海到天文學，許多人就是這樣由數學的應用朝理論的方向前進了一步。

「美國海岸測量處」(United States Coast Survey)，這個政府機關也在需求的情況下成立。 第三任總統 Jefferson（1801∼1809年在任）請了瑞士的 Hassler 來做處長。Hassler 強調測量需要有深厚的科學與數學的訓練， 其後的繼任者都能保持這個傳統。因此這個機構非但精確地測量了美國的大西洋海岸、墨西哥灣、灣內的水流、海岸的深度等等，而且也讓有數學能力的人能從事與數學有關的工作。

另一重要機構是1849年成立的「航海曆書處」(Nautical Almanac)；它需要更多的天文知識，更多的數學計算，也培育了更多的數學人才。此外，十九世紀的美國逐漸走向工業化，具有數學能力的工業人才逐漸受到重視，其需求量也逐漸增加。工業界與政府也都轉而關注高等學校中的數學教育。

十七、八世紀的美國教育是深受英國影響的。英國人辦教育的目的是要培養紳士與教士。他們當然需要數學，但那是為了心智及邏輯的訓練，所以層次不高。1820年以前，在大學所教的數學只有算術、簡單的代數、沒有證明的歐氏幾何學，還有一點點的測量、三角及錐線。而且縱使是較高等的數學，其教法不外就是要學生強記，1830年時，耶魯大學學生還因不滿數學的教法而發生暴動──稱為「錐線暴動」。在南北戰爭之前，很少有學校教微積分，幾乎沒有學校要求該科為必修。大學的數學只是通識教育的一部分，學生根本沒有專攻的可能。

1812年英美發生戰爭，雙方交惡。美國的教育逐漸擺脫英國的模式，各大學各自尋求更富變化的課程，以符合美國立國的民主精神。他們轉而引進法國的數學課程與課本，因為大革命（1789年）之後，法國人在高等教育上做了重大的改革，數學教育尤其受到重視。在諸大學中哈佛及耶魯不用說，西點軍校之提倡數學教育及模仿法國軍事學校與工藝大學 (École polytechnique) 的課程也非常成功，使得它的畢業生有的成為出色的測量人員、工程人員，有的則到各處新成立的大學推廣新的數學課程。這時期的教育改革雖然沒有產生一流的數學家，但產生了一些能培養更下一代數學家的數學教師。

到了十九世紀中葉，工業界及政府有了足夠的財力，也認識到科學教育的重要，紛紛資助各大學充實科學課程與設備，或成立新的、以農工為主的大學，為美國的科學與數學的發展奠下良好的基礎。

Peirce（Benjamin, 1809∼1880年）是此轉型期的代表人物。他年輕時幫助 Bowditch 校正《天體力學》英譯中的評註，使他得以學到法國的數學與物理。1833年升任哈佛大學教授，成為該校數學教育改革的推動者之一。 1847年紡織業鉅子 A. Lawrence 捐款給哈佛大學，成立 Lawrence 科學家，由 Peirce 擔任物理學數學的教授。 Peirce 曾是「美國海岸測量處」的處長，也參與「航海曆書處」的研究。他還教出一批未來的學者：數學家、天文學家、兩位哈佛及一位麻省理工學院的校長，更培育了兩位出名的兒子：一位是哈佛大學數學教授 (James Mills)，另一位是著名的哲學家及邏輯學家 (Charles Sanders)。1870年，Peirce 還出版了《線性結合代數》(Linear Associative Algebra)；這是第一部美國產有水準的純數學著作，它在1881年開始受到歐洲數學家的重視。

Peirce 受到的是本土教育，學到的是法國的數學與物理，從事過應用數學的工作，著手過數學教育的改革，培養出優秀的學生，最後使自己進入了世界數學的舞台。他的一生正代表十九世紀美國的數學發展。

從純數學的觀點來看，Peirce 還不是世界級的人物。比 Peirce 稍後，十九世紀美國所產生的世界級數學家是 Gibbs（1839∼1903年）。 他的父親是耶魯大學的哲學教授，他本身也從耶魯得到工程學位，然後前往德國轉習數學與物理，回美國後在耶魯大學教書與研究。1881年他在耶魯開始講授向量分析，是公認的向量分析的開山祖師。

1880年代美國之開始進入高水準的數學研究，還可以從下面幾件事看出來。1876年，鐵路大亨 Johns Hopkins 創立了以其名為校名，以研究為主導的大學，並從英國請來了世界級的數學家 Sylvester（1814∼1897年）。在1877到1883年的停留期間，Sylvester 不但教出許多好學生，而且夥同美國的數學界，共同創辦了登載原創性論文的《美國數學雜誌》(American Journal of Mathematics)。 以前也有人試過發行研究性質的數學刊物，但都因素質不良，稿件不全而熬不下去。這份新的刊物，一方面由於 Sylvester 的魅力，一方面也因美國數學界已經有此需要，逐漸成長茁壯，一直到現在都還舉足輕重。另一份刊物《數學年報》(Annals of Mathematics)也在1884年由維吉尼亞大學出版。 這份刊物幾經演變，現由普林斯頓大學出版，是世界數學界頂尖的雜誌。

1888年以哥倫比亞大學為中心的紐約數學會成立，擴展迅速，到1894年就變成美國數學會 (AMS) 這一個全國性的組織。 學會發行會刊 Bulletin（1894年）、學術雜誌 Transactions（1900年），舉辦各種學術活動，出版數學書籍，為美國數學研究的提升注入了組織的力量。學會成立之初的幾任會長，不是應用數學家就是學術行政人員。進入了二十世紀後，絕大多數的會長都是學有專精的數學家。這也證明美國在進入二十世紀時，其數學研究環境的樹立已大致完成。

1892年，石油大王洛克斐勒捐助的芝加哥大學成立，也是美國數學史上的一件大事。 第一任數學系主任 R.H. Moore（1862∼1932年）是耶魯大學的畢業生，他和那一代的許多美國數學家一樣， 遊學過德國，深受當時數學界中心哥丁根大學的世紀級數學家Klein（1849∼1925年）的影響。 1893年芝加哥舉行世界博覽會，芝加哥大學趁機發起國際數學會，從歐洲六國請來數學家與會。 Klein 也應邀參加，並在會後假西北大學做了一連串的學術演講。國際數學會與 Klein 的演講轟動整個美國數學界， 芝加哥大學很快就變成美國的數學重鎮。Moore 本身的研究非常出色，但更重要的是他教出了評多更出色的學生， 其中最有名的是 Dickson（1874∼1954年，研究數論與群論）、Veblen（1880∼1960年，研究幾何學）及 G.D. Birkhoff（1884∼1944年，研究分析學）。 日後他們分別在芝加哥大學、普林斯頓大學及哈佛大學帶動研究，使這三個地方成為二十世紀上半葉美國的數學重鎮 ¹ ，而他們本身的研究也是世界級的。美國的數學水準就在他們這一代與歐洲先進國家並駕齊驅，他們的學生也不必再到歐洲遊學了。

1930年一個全新構想的研究機構成立了，這是由紐澤西州 Newark 地區百貨公司鉅子 Bamberger 捐贈成立的，位於普林斯頓大學附近的高級研究所 (The Institute for Advanced Study)。最先設立的是數學院， 既沒有大學部也沒有研究所的學生，教授聘請的是世界級的學者，另外每年從世界各地招講學者來共同討論與研究。 最早的數學院教授有 Veblen、Morse（1892∼1977年）、愛因斯坦（1879∼1955年）、von Neumann（1903∼1957年）及 Weyl（1885∼1955年）。除 Veblen 及G.D. Birkhoff 的學生 Morse 外，其他三人都是從歐洲來的，也都是世紀級的學者， 都是為了躲避納粹而來的。納粹更使許多著名的歐洲數學家紛紛跑到美國的各大小大學尋求庇護所。 本身的數學研究已成氣候，再加上這一批生力軍，美國就在二次世界大戰前後，一躍而成為世界數學的超級強國。