祖氏原理

．原載於科學月刊第十七卷第十期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋

祖氏原理

曹亮吉

當大家充分了解了微積分基本定理的內涵，知道從微分可以反求積分後，積分學進入了成熟時期。雖然如此，在此之前，面積與體積也求得不少，祖氏原理是其中最具威力的方法之一。

祖沖之（429～500）南北朝人，他的主要貢獻為新編大明曆，計算圓周率到小數第六位，以及計算球體的體積。在計算球體體積時，他曾經比較某兩個高度相同的立體，發現在距底面同高處，兩者的截面積相同，所以下結論認為兩立體的體積要相同：「緣冪勢既同，則積不容異。」（勢：（同）高，冪：截面積。）這就是祖氏原理 ¹ 。

用現代積分符號來表示，祖氏原理說：f(x)=g(x)，則

$\begin{displaymath} \int_\alpha^\beta f(x)dx=\int_\alpha^\beta g(x)dx \qquad (\... ...ntfamily{cwM15}\fontseries{m}\selectfont \char 52}}=f(x)=g(x)) \end{displaymath}$

把它稍做延伸：如果 f(x):g(x)=a:b，則

$\begin{displaymath} \int_\alpha^\beta f(x)dx : \int_\alpha^\beta g(x)dx=a:b \end{displaymath}$

所以無論怎麼說，祖氏原理最是簡單不過，然而它的用途可真不小。

我們以同底等高的柱與錐的體積比為例，說明祖氏原理的應用。考慮一正立方體的一頂點及不含此頂點的三個面，則任一面與此頂點可聯成一方錐。這種特殊的方錐稱為「陽馬」。這樣得到的三個完全相同的陽馬因能合組成一正立方體，所以正立方體與陽馬的體積比為 3:1。其次考慮任一角錐，亦即底面為多邊形的錐。我們拿一個高度相同的陽馬與此角錐相比，則距底面同高處的截面面積之比，很容易算得是底面積之比，是個定比（不因高度而有所不同），所以角錐與陽馬的體積比就是它們的底面積之比。由於柱的體積就是底面積乘以高度，所以角錐與陽馬的體積比就是角柱與正立方體的體積比。由於正立方體是陽馬的三倍大，我們就推得角柱與角錐的體積比仍然為 3:1。

更一般的錐，其底面是由封閉曲線所圍成，而不是多邊形。然而封閉曲線可以看成為多邊形（當邊數增加時）的極限。所以透過極限的觀念，我們就得一般同底等高的柱與錐的體積比仍為 3:1。

如果前述的 f(x)、g(x) 代表兩平面區域的截線長，則祖氏原理就是說：截線長有定比的兩等高平面區域的面積比，等於該定比。具體的應用例子如：等高兩三角形的面積比，等於其底邊比；半徑為 a 的圓與半長短軸為 a 與 b 的橢圓，兩者的面積比為 a:b 等等。

祖氏原理在西方稱為 Cavalieri 原理。Cavalieri（Bonaventura, 1598～1647年）為伽利略的學生，是義大利 Bologna 大學的教授。在1635年他出版一本書《Geometria indivisibilibus continuoum》（不可分連續體的幾何學），把平面區域看成是由沒有寬度的平行線條所組成，體積則由沒有厚度的平行平面區域所組成。然後比較同高處的截線長或截面積，而得出以其為名的積分原理。

圖一

Cavalieri 用其原理最成功的例子是，計算曲線 y=x^k 下的面積。為了熟悉 Cavalieri 的想法，我們先看 k=1 的情形。如圖一，Cavalieri 想證明三角形 BCD（或 ABD）的面積為平行四邊形 ABCD 之半。在距兩底邊 AD、BC 等高處，引平行於底邊的直線，得截線 EFG 及 KLM。由於 $\triangle BCD$ 及 $\triangle ABD$ 分別由平行移動的線段 FG、KL 所組成，而 $\overline{FG} = \overline{KL}$ ，所以 $\triangle BCD$ 與 $\triangle ABD$ 的面積相等。又設 $\overline{AD} = \overline{BC} = c$ , $\overline{FG}=x$ , $\overline{EF}=y$ 。因為 c=x+y，所以 $\sum c=\sum (x+y)=\sum x + \sum y$ 。在這裡 $\sum x$ 表示：隨著 FG 做平行移動，從頂點 D 變化到底線 BC，所得截線長 $\overline{FC}=x$ 之和。從平面區域是由平行的截線所組成的這種觀點， $\sum x$ 正表示 $\triangle BCD$ 的面積。同理 $\sum y$ 表示 $\triangle ABD$ 的面積， $\sum c$ 表示平行四邊形的面積。既然 $\triangle ABD$ 與 $\triangle BCD$ 等積，由 $\sum c=\sum x+\sum y$ 可知， $\triangle BCD$ 的面積為平行四邊形 ABCD 之半，即 $\sum x=\frac {1}{2} \sum c$ 。

以現代的符號來表示， $\sum x$ 相當於 $\int _0^c x \; dx$ ，而 $\sum a$ 相當於 $\int _0^c a \; dx$ 。因為 Cavalieri 注意的是兩個積相比的比值，而 $\sum x$ 、 $\sum c$ 看成 $\int _0^c x \; dx$ 、 $\int _0^c c\;dx$ 後，其比值仍舊。用這樣的看法，上面的結果就變成

$\begin{displaymath} \int _0^c x\;dx = \frac{1}{2} \int _0^c c\;dx= \frac{1}{2}c^2 \end{displaymath}$

這就是我們熟知的公式。

圖二

再看 k=2 的情形，由 $\sum c^2=\sum(x+y)^2$ $=\sum x^2+2\sum xy+\sum y^2$ 可得 $\sum c^2 =2\sum x^2+2\sum xy$ 為了求得 $\sum xy$ ，令 $x= \frac {1}{2}c-z ,y= \frac{1}{2}c+z$ ，則 $\sum xy=\sum(\frac{1}{4}c^2-z^2)= \frac{1}{4} \sum c^2-\sum z^2$ 。設 P、Q 為 BC、AD 的中點，而 PQ 交 BD 於 O，則 z 就是圖二中的 $\overline{RF}$ 。假設有一立體以 $\triangle OQD$ （及 $\triangle OBP$ ）為底，而在 RF 上的截面積為 z²，則該立體的體積就是 $\sum z^2$ 。這個立體在 $\triangle OQD$ 上的部分與 $\sum x^2$ 所相應的立體是相似的：它們的高度比為 1:2，截面積比為 1:4。所以將 Cavalieri 原理加以推廣應用就得體積比為 1:8，因此 $\sum z^2: \sum x^2=1:4$ 。由此可得 $\sum xy=\frac{1}{4} \sum c^2-\frac{1}{4} \sum x^2$ ，代回 $\sum c^2 =2\sum x^2+2\sum xy$ ，就得 $\sum c^2 =2\sum x^2+ \frac{1}{2} \sum c^2 - \frac{1}{2} \sum x^2$ ，即 $\sum x^2 =\frac{1}{3} \sum c^2$ （即 $\int _0^c x^2dx = \frac{1}{3} c^3$ ）。

若以同樣的方法處理 $\sum x^3$ ，則

$\begin{eqnarray*} \sum c^3 &=& \sum (x+y)^3 \\ &=& \sum x^3 + 3 \sum x^2y+3 \s... ... \frac{1}{6} \sum c^2 \\ &=& 2 \sum x^3 + \frac{1}{2} \sum c^3 \end{eqnarray*}$

因此 $\sum x^3= \frac{1}{4} \sum c^3$ （即 $\int_0^c x^3=\frac{1}{4}c^4$ ）。

如此逐步上推，Cavalieri 就得到曲線 y=x^k 下的面積為 $\sum x^k = \frac{1}{k+1} \sum a^k$ （即 $\int_0^c x^k$ $= \frac{1}{k+1} c^{k+1}$ ）這樣的結論。Cavalieri 的推論過程雖然不免粗糙，但其想法可以經由現代嚴格的積分方法與性質而得以實現；這是 $\int x^k dx$ 的另一種求法 ² 。

祖氏原理（或 Cavalieri 原理）雖然訴諸直觀，但若以現代積分的形式出現，則毫無意義不明之處。如此直觀嚴格兩種性質具備，所以在正式學習積分方法以前，用它來說明一些面積與體積的公式，在教學上是很方便的事。

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編輯：楊佳芳 ∕ 校對：楊佳芳 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002