無窮遠就如在眼前

．原載於科學月刊十七卷第六期
．作者當時任教於台大數學系

無窮遠就如在眼前

曹亮吉

無窮，無論是無窮大、無窮小、無窮多或無窮遠，都是很難理解的。無窮遠與其他的無窮一樣，古時候的希臘數學家都儘量想辦法避開。歐幾里得的平行公理說，兩直線 AB 與 CD 為另一直線截於 E、F（見圖一），若 $\angle AEF + \angle CFE <180^{\circ}$ ，則兩直線在 $\overrightarrow{BA}$ 及 $\overrightarrow{DC}$ 的方向相交。用這種方式表示平行公理似乎避開了無窮遠觀念的困境，然而卻不然。根據歐幾里得的其他公理可推得，如果 $\angle AEF + \angle CFE = 180^{\circ}$ ，則 AB 與 CD 在兩方向都不能相交。什麼叫不能相交？無論怎麼延長都不相交！「無論怎麼延長」似乎就和「無窮遠」打著招呼呢！

圖一

歐氏幾何中雖然有平行的概念，但是當你用眼睛望著平直而平行的兩條鐵軌時，你發現它們似乎在天地相合之處相交。天地相合之處是一種想像中的無窮遠處。等你把所見到的景物，依透視投影的原理畫到畫面上（即，在眼睛、實物兩者聯線與畫面的交點處畫上實物），天地相合之處對應到畫面上的一條直線 l──地平線，而平行的鐵軌變成了兩條相交於 l 的直線（見圖二）。這是無窮遠具體化的最好例子，也是文藝復興時代因應繪畫而起的透視投影幾何學的重點之一。射影幾何（研究一再投影的性質的幾何），與歐氏幾何在觀念上最不同的地方，是承認無窮遠點的存在，而且還要積極有效地來處理它。

圖二

把眼睛放在一圓的正上方，則眼睛與圓上各點的聯線形成一圓錐。我們知道截面的傾斜度不同，就可以得到橢圓、拋物線、雙曲線等不同的投影。所以這些曲線在投影之下互變。為了進一步了解錐線之間的互變，以及連帶而起的無窮遠點的意義，我們看看下面的例子。

在空間中取一點 $P_0(0,h,k), k\neq 0$ ，從 P₀ 點把平面 z=0 投影到平面 y=0 上。我們想知道，平面 z=0 上的橢圓 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ ，經此投影後會變成什麼樣的曲線。

圖三

假定 |h|<b（見圖三），我們以 $A(a \sqrt{1-\frac{h^2}{b^2}} , h, 0)$ , $B(-a \sqrt{1-\frac{h^2}{b^2}},h,0)$ 兩點為界，將橢圓分成 C₁ 與 C₂ 兩部分，但都不含 A、B 點。如果 P=P₁ 點在 C₁ 上變動，則 P₀ P₁ 與平面 y=0 的交點 Q=Q₁ 的軌跡，有如圖四所示，兩者運動的方向以箭頭表示。當 P₁ 趨近於 A 點時，Q₁ 趨向圖四左下角無窮遠處（箭頭的方向）。當 P=P₁ 剛跳過 A 點，而變成 C₂ 上的點 P=P₂ 時，相應的 Q=Q₂ 點，從圖四的右上角無窮遠處沿箭頭方向下來。我們很自然地會把這兩個無窮遠處看成同一點，因為它們要相應於同一點 A。從圖四可以看出，橢圓在此投影下所對應的曲線大約是雙曲線，而前面所提到的無窮遠處，可看成是雙曲線一漸近線的無窮遠點。與 A 點同樣道理，B 點並無投影，但從 P 點在B 點附近的投影來看，B 點要說有投影，則其投影應該是雙曲線另一漸近線的無窮遠點。

圖四

由計算可知（不假定 |h|<b），橢圓 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ 在此投影之下所得曲線的方程式為

$\begin{displaymath} \frac{x^2}{(\frac{a}{k})^2} + (\frac{h^2}{b^2}-1)z^2 + 2kz-k^2 = 0 \end{displaymath}$

若 |h|=b，則此二次方程式的判別式為正，因此真的是雙曲線；若 |h|=b，則為零，是為拋物線；若 |h|>b，則為負，是為橢圓。

由此例可知，在投影之下，這三種錐線的確可以互變；當然，這種投影變換有一點點小缺點，亦即，A、B 兩點並無投影，也就是說錐線在投影互變時，失落了一些點，而這些失落的點正是我們想從無窮處找回來的。

我們再從直線與錐線的交點看無窮遠點的意義。直線為（兩個變數的）一次方程式，錐線為二次方程式，所以兩者的交點數，是一個變數的二次方程式的解個數。理論上，交點數是兩個、一個（重交點，即切點）或沒半個。這在橢圓是對的，然而在雙曲線及拋物線時卻有點麻煩。

當直線與雙曲線的漸近線平行時，兩者顯然只有一個交點（見圖五），而且不是重交點（不是切點）。如果我們承認漸近線方向有個無窮遠點，而且它是在雙曲線上，也就是說我們把上面所談的失落的點，補回給雙曲線，則整個問題也就迎刃而解了。平行於漸近線的直線除交雙曲線於一有限點外，還交雙曲線於漸近線方向的無窮遠點。當此直線逐漸往漸近線平移時，則此有限點逐漸趨向無窮遠。等到直線變或漸近線，有限點就與漸近線方向的無窮遠點重合而成了重交點了。

圖五

當直線與拋物線對稱軸平行時，兩者的交點數也有問題；但同樣地，當我們為拋物線添上對稱軸方向的無窮遠點後，問題也就解決了。

以上的討論是從幾何的觀點出發。在數學中，為了更有效地處理無窮遠點，就引進了射影平面；它不但包含原來的歐氏平面，而且還新添了許多無窮遠點。同時又引進了坐標，使得無窮遠點也可以用代數的方法來處理。

考慮三維空間 R³ 中的非零向量 X=(x₁, x₂, x₃)，x_i 不全為 0。把所有這樣的向量分類：兩向量 x 與 y 在同一類的充要條件為兩者只差一個（非零的）乘數： $x=ty,t \neq 0$ 。x 所屬的類以 <X> = (<x₁, x₂, x₃>) 來表示。我們規定射影平面 P 就是由所有的 <x> 所組成，每個類 <x> 就是 P 中的一個點。

從 R³ 中的幾何觀點來看，P 中的點 <x> 其實就是過原點且以 x 為方向的直線。如何規定 P 中的直線呢？就把 R³ 中過原點的平面當做 P 中的直線。在此平面上，過原點的直線，就相當於 P 中此直線上的點。以方程式而言，R³ 中過原點的一個平面可以用 a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ = 0 來表示。請注意，當 x 換成同類的向量 tx 時，仍然滿足上面的方程式，所以這個方程式可以看成為 P 中的直線方程式。還請注意：a_i 不全為 0，而且各乘以同一非零的倍數後，仍表 P 中的同一直線，所以 P 中的直線可以用向量 a=(a₁, a₂, a₃) 或其所屬的類 <a> 來表示，也記做 L_<a>。

有了新出爐的射影平面 P，首要的工作就是要看它是否就是我們所要的。將 P 分成兩部分： $\mathbf{P} = \mathbf{E} \bigcup L_{\infty}$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{E} &=& {<x> \in \mathbf{P}\vert x_3 \neq 0}, \\ L_{\infty} &=& {<x> \in \mathbf{P}\vert x_3=0} \end{eqnarray*}$

$\mathbf{L}_{\infty}$ 由方程式 x₃=0 所決定，它是 P 中的一直線，由向量類 $\infty=<0,0,1>$ 所決定，稱為無窮遠直現。E 其實和歐氏平面有同樣多的點，其間的對應為 <x₁ ,x₂,x₃> (x,y), x=x₁/x₃, y = x₂/x₃。所以射影平面 P 的確由歐氏平面（E）及無窮遠直線（ $\mathbf{L}_{\infty}$ ）所構成。

從幾何的觀點來看，E 中的點 <x> 可用 R³ 中過原點且以 x 為方向的線，與平面 x₃=1 的交點 ( x₁/x₃,x₂/x₃, 1) 來代表，所以 E 可看成 R³ 中的平面 x₃=1。另外， $\mathbf{L}_{\infty}$ 中的點 <x₁, x₂, 0> 可看成為歐氏平面中的方向 <x₁, x₂>。這樣看來，P 符合從歐氏平面擴張到射影平面的本意。

P 中的直線 L_<a> 和歐氏平面中的直線又有怎樣的關係呢？若 L_<a> 不是無窮遠直線 $\mathbf{L}_{\infty}$ ，亦即 a₁,a₂ 不全為 0，則兩者的交集

$\begin{eqnarray*} \mathbf{L}_{<a>}\bigcap \mathbf{L}_{\infty} &=& \{<x>\in \mat... ...mathbf{P}\vert a_1x_1+a_2x_2=0,x_3=0\} \\ &=& \{<a_2,-a_1,0>\} \end{eqnarray*}$

恰巧為一點。而 L_<a> 與 E 的交集

$\begin{eqnarray*} \mathbf{L}_{<a>} \bigcap \mathbf{E} &=& \{<x> \in \mathbf{P}\v... ...}+a_3=0 \}\\ &=& \{(x,y)\in\mathbf{R}^2\vert a_1x+a_2y+a_3=0 \} \end{eqnarray*}$

正是歐氏平面中的一條直線。

反過來看，歐氏平面中的任一條直線 a₁x+a₂y+a₃=0, a₁, a₂ 不全為 0，加上其方向的無窮遠點 (a₂,-a₁,0)，就變成了射影平面中的直線 a₁ x₁+a₂ x₂+a₃ x₃=0。另外，在歐氏平面中互相平行的兩直線有定比例的 a₁,a₂，所以擴張到射影平面時，就交於無窮遠點 (a₂,-a₁,0)。我們的射影平面 P 的確解決了平行線的交點問題。

再看二次錐線與直線的交點問題。E 中二次錐線 T₀ 的方程式為 a x² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0。將它擴張到 P 中，則得（以 x=x₁/x₃，y=x₂/x₃ 代入原式後去掉分母）

T:ax²₁+2b x₁x₂+cx₂²+2d x₁ x₃+2e x₂ x₃+ f x₃²=0

T 除了包含原來的錐線 T₀ 外，還含有

$\begin{eqnarray*} T\bigcap L_{\infty} &=& \{<x> \in \mathbf{P}\vert ax_1^2+2bx_... ...\ &=& \{<x>\in\mathbf{P}\vert<x>=<-b \neq \sqrt{b^2-ac},a,0>\} \end{eqnarray*}$

若 T₀ 為橢圓，則 b²-ac<0，所以 $T \bigcap L_{\infty}$ 不含任何點；若 T₀ 為拋物線，則 b²-ac=0，所以 $T \bigcap L_{\infty}$ 僅含有一點之 <-b,a,0>。若 T₀ 為雙曲線，則 b²-ac>0，所以 $T \bigcap L_{\infty}$ 含有兩點。而這些增加的點正是我們所希望有的：拋物線對稱軸方向的無窮遠點，以及雙曲線兩漸近線方向的無窮遠點。

射影平面與歐氏平面只相差一無窮遠直線。在沒引進坐標之前，無窮遠顯得很神祕、很特別。有了坐標之後，無窮遠直線就像一般的直線一樣，可以寫成為一次齊次方程式，毫無特殊之處。事實上，射影平面上的任何一條直線，在適當的射影變換之下，都可以對應到無窮遠直線 $L_{\infty}$ ；換句話說，就像繪畫中代表地平線的那條直線那樣，任何直線都可以看成無窮遠直線。這樣看來， $L_{\infty}$ 與歐氏平面渾然成為一體，不像是外來異物。

圖六

更有進者， $L_{\infty}$ 的引入，使一些原本難證的歐氏幾何定理，變成幾乎是理所當然。我們就以 Desargues 定理加以說明。這個定理說：兩三角形 ABC 與 a'b'c' 的三雙對應頂點的聯線 AA'、BB'、CC' 若交於一點 P，則三雙對應邊 AB、A'B' 的交點 K，BC、B'C' 的交點 L，CA、C'A' 的交點 M 要共線（見圖六）。若用歐氏幾何的觀點，這個定理的證明相當麻煩。若採取射影幾何的觀點，則可以選取一個射影變換，把 PK 對應到 $L_{\infty}$ 。這時候，因為 P 與 K 都在 $L_{\infty}$ 上，所以 AA'、BB'、CC' 在歐氏平面上互相平行，AB、A'B' 也一樣，使得整個圖形變成如圖七所示。在這種情形下，只要證明 LM 與 AB 在歐氏平面上平行就好；這是很容易的事。如此，Desargues 定理就完全得證，因為定理的內容只涉及點、線、交點及聯線的問題，所以真確性不因射影變換而有變化。

圖七

無窮遠似乎遙不可及，然而數學居然有摘星的本事，使無窮遠就如在眼前。

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編輯：洪瑛 ∕ 校對：黃信元 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：3/19/2002