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．原載於科學月刊第十七卷第五期
．作者當時任教於台大數學系

•註釋
 

以簡馭繁

曹亮吉

 
 

在數學的發展過程中，以簡馭繁的精神到處可見。在所有的計算中，加減最簡單， 乘除次之，開方又更難。於是發明了對數，把乘除歸於加減 註1 。又發明各種只用及四則運算的辦法，來處理開方的問題 註2。

在微積分中，這種以簡馭繁的精神，無論是在觀念方面或是在計算方面，更是俯拾皆是。

有了一個函數 f(x)，我們考慮平均變化量 $Q(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，再讓 x 趨近於 x0，而得瞬間變化量 $f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}Q(x)$，這就是函數 f(x) 在 x=x0 處的微分。如果 x 代表時間，f(x) 代表位移，則 Q(x) 代表平均位移，f'(x0) 就代表 x=x0 處的速度。如果 y=f(x) 代表曲線，則 Q(x) 代表割線的斜率，f'(x0) 就代表曲線在 x=x0 處的切線斜率。加速度、密度及一般的變化率也都可以表成某個函數 f(x) 的微分 f'(x0)。所以微分這個簡單的觀念統攝了許許多多的現象。

積分的觀念始於求面積。假設我們要求曲線 y=f(x) 之下，x 軸之上，兩縱線 x=a 及 x=b 之間的面積 A，如圖一。


圖一

將線段 [a,b] 分割成 n 小段 [xk-1,xk]， $1 \leq k \leq n$，x0=a, xn=b。在每一小段 [xk-1, xk] 內取一點 $\xi_k$，在其上作一高度為 $f(\xi_k)$ 的矩形。則所有這些小矩形面積之和

\begin{displaymath}S_n = \sum_{k=1}^nf(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\end{displaymath}

可以當做 A 的一個近似值。而當 n 趨向無窮大，每小段 [xk-1, xk] 之長趨近於 0 時，此近似值就變成 A 的正確值。此值稱為函數 f(x) 在 [a,b] 之間的積分，記做 $\int_a^bf(x)dx$。

如果 x 代表時間，f(x) 代表速度，則 $f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ 代表在時間 [xk-1, xk] 內以定速 $f(\xi_k)$ 所走過的距離，它可做為變速 f(x) 在 [xk-1, xk] 內所走過距離的近似值。所以 Sn 可做為從 a 到 b 所走過距離的一個近似值。取極限後， $\int_a^bf(x)dx$ 就是從 a 到 b 所走過的距離。

這種分割、取點、求和、求極限的四部曲，不但可用來算面積，求距離，只要變數與函數解釋得當，也可用來求曲線長、體積、質量、質量重心、功等等 。積分這個簡單的觀念一樣統攝了許許多多的現象。

微分與積分的觀念雖然簡單，但牽涉到的計算卻是極限這種無窮的步驟，與四則運算的有限性相較是難了太多。於是以簡馭繁的辦法又一再出現了。

我們發現微分的運算與函數的四則及合成運算之間有些簡單的關係：

\begin{eqnarray*} (f\pm g)'(x_0) &=& f'(x_0)\pm g'(x_0) \\ (f\cdot g)'(x_0) &=&... ...] / g(x_0)^2 \\ (f\circ g)'(x_0) &=& f'[ g(x_0) ] g'(x_0) \end{eqnarray*}


有了這些關係式，我們只要知道簡單函數的微分，就能算得複雜函數的微分。譬如知道了單項式 xn 的微分，就知道分式的微分；知道了正、餘弦函數的微分，就知道任何複雜的三角函數的微分等等，而且這些計算都是在有限步驟中就可以完成的。

積分也類似，相當於微分的加減公式，積分也有加減公式，相當於微分的乘法公式，積分有分部積分的公式，相當於微分的合成公式，積分有變數代換的公式。可惜相當於微分的除法公式，積分並無適當的公式，所以一般說來，積分的計算要比微分的難得多。不過關於除法，積分並不是一籌莫展的。譬如我們可以用部分分式的辦法，把一複雜的分式，表成簡單分式之和，而這些簡單分式的積分幸而都有辦法計算得到。這也是一種以簡馭繁的方法。

微積分的另一大功能在於計算函數的值。分式是由變數的四則運算所組成，所以其函數值在有限步驟內都可以計算出來。其他函數則不然，譬如三角函數、對數、指數、開方等，除了一些特別值外，都不可能用有限的步驟計算得到。為此，微積分中的 Taylor 公式提供了在有限步驟就能求得近似值的辦法，又能估計此近似值與真值之間的誤差。

Taylor 公式說，一個函數 f(x) 可以寫成為兩部分

f(x)=Pn(x)+Rn(x)

Pn(x) 為一多項式

\begin{displaymath}P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\end{displaymath}

可由 f(x) 在有限步驟內算得。

Rn(x) 稱為餘式；我們希望

\begin{displaymath}\lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0\end{displaymath}

如此一來，f(x) 就等於其 Taylor 級數

\begin{displaymath}f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\end{displaymath}

而 Pn(x) 可做為 f(x) 的近似值，Rn(x) 可用來估計誤差。

Rn(x)的表示方法有多種，最常見的為下面的積分型及微分型兩種：

\begin{eqnarray*} R_n(x) &=& \int_{x_0}^{x}(x-t)^n \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}dt \\ R_n(x) &=& \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}


以 f(x)=ex, x0=0, x>0 為例，則因 $f^{(n+1)}(t) = e^t\leq e^x$ 所以

\begin{eqnarray*} R_n(x)& = &\int_0^x(x-t)^n\frac{e^t}{n!}dt\leq e^x\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}dt\\ &=&\frac{e^x}{(n+1)!} x^{n+1} \end{eqnarray*}


或

\begin{eqnarray*} R_n(x)&=&\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}\\ &=&\frac{e^\xi}{(n+1)!}x^{n+1}\leq\frac{e^x}{(n+1)!}x^{n+1} \end{eqnarray*}


而

\begin{displaymath}P_n(x) = 1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots\cdots + \frac{x^n}{n!}\end{displaymath}

譬如取 n=10, x=1，則 e 以

\begin{displaymath}P_{10}(1) = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots\cdots + \frac{1}{10!} = 2.7182818\end{displaymath}

為其近似值，而其誤差

\begin{displaymath}R_n(1) \leq \frac{e}{11!} < \frac{3}{11!} = 7.5 \times {10}^{-8}\end{displaymath}

簡言之，我們以簡單的四則運算求得 e 的一個近似值，同時也由簡單的計算估計得此近似值的誤差。三角函數值、對數值、指數值、開方值等等無不用此方法，求得近似值及估算其誤差。以簡馭繁的精神，在 Taylor 公式中表露無遺。

n=0 時，積分型餘式的 Taylor 公式就變成

\begin{displaymath}f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(t)dt\end{displaymath}

它正是微積分基本定理。而積分型餘式的 Taylor 公式正是由此基本定理，經一再分部積分得到的。

n=0 時，微分型餘式的 Taylor 公式就變成

\begin{displaymath}f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)\end{displaymath}

它正是平均變率定理。平均變率定理的擴張為 Cauchy 定理

\begin{displaymath}\frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}\end{displaymath}

將 Cauchy 定理一再用到

\begin{displaymath}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}\end{displaymath}

就可求得微分型餘式的 Taylor 公式。

Taylor 公式不但提供了計算及估計的方法，而且隱含了微積分最基本的兩個定理：微積分基本定理及平均變率定理。掌握了 Taylor 公式，就是以簡馭繁地掌握了大半的微積分學。

 
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編輯：石莉君 ／ 校對：康明軒 ／ 繪圖：簡立欣 最後修改日期：2/17/2002