曹亮吉

1710年有人正式指控萊布尼茲的微積分是抄襲自牛頓的。1711年萊布尼茲請求英國皇家學會澄清他的名譽。皇家學會為此成立的特別委員會，於1712年判定萊布尼茲的確有罪。然而今天我們都說牛頓與萊布尼茲各自發展了有系統的微積分，都是微積分的創始人。牛、萊之爭是科學史上耐人尋味的事件，其前因後果的探討實有助於了解科學發展的人性層面。

牛頓生於1642年，於1664到1666年間形成了他的微積分系統。萊布尼茲生於1646年，他的微積分形成年代為1672到1676年。從時間來看，萊布尼茲落後了，使他在這場誰先誰後誰抄誰的紛爭中居於不利的地位。

牛頓的第一本微積分的著作《論分析》(De Analysi)，於1669年在其朋友間開始流傳，但直到1711年才出版。他在1669年繼其老師 Barrow 之後成為劍橋大學的 Lucasian 教授（Henry Lucas 捐贈的講座）。他講的是數學與物理，不免要提到微積分，但萊布尼茲無緣受教。他的講義按規定要列入學校的檔案，當然萊布尼茲也沒機會看到。牛頓在1672年入選為皇家學會院士後，馬上就將其有名的光學實驗提出報告，然而妒火中燒的 Hooke（Robert, 1635∼1703年，虎克定律的發明者）卻予無理與無情的攻擊。如此一來，牛頓更視發表為畏途。牛頓的第二本微積分著作《流數法與無窮級數》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)，成書於1671年，但直到1736年才出版。第三本著作《曲線求積法》(Tractatus de Quadratura Curvarum) 成書於1676年，但直到1704年才發表。牛頓的《Principia》出版於1687年，其數學演算雖然用的是微積分，但表現在書上的卻用的是古典幾何學的方法。與牛頓相反，萊布尼茲有關微積分的論文，卻從1684年開始就正式陸續發表了。

牛頓

所以從出版的時間來看，萊布尼茲不但可以洗清罪名，甚至使有些人有理由反過來認定萊布尼茲才是微積分真正的創始人。然而這都不是關鍵之所在。

我們說過萊布尼茲因為外交任務於1672年到1676年間滯留於巴黎。在這段時間內，他開始了微積分的創造 ^註1 。1673年一月他為了促進英國與荷蘭之間的和平協議，前往倫敦。他遇到了 Oldenburg、Pell、Hooke 及 Boyle 等英國學者，從他們那兒知道許多科學的進展，為他的創造生涯添加了不少的力量，同時他也入選為英國皇家學會的院士。

萊布尼茲和牛頓從來沒見過面，但彼此間卻間接通過信，而這就種下了日後紛爭的主要來源。1676年萊布尼茲請英國皇家學會的祕書 Oldenburg 說明牛頓與 Wallis 所用的方法。牛頓於六月十三日及十月廿四日先後兩次寫信給 Oldenburg，其目的就是要萊布尼茲知曉其內容。這就是有名的前信 (epistola prior) 及後信 (epistola posterior) ^註2 。

前信是這樣開始的：

「雖然在你給我有關萊布尼茲信件的摘要中，他很客氣地稱讚了我們英國人在無窮級數上的貢獻，然而我毫不猶疑地認為，就如他所說的，他已經發現一種方法可以把任何數學量表成無窮級數；不但如此，而且可以表成各種更簡單的形式──這些形式可能就如我們所知的，如果不是更好的話。然而既然他想知道英國人在這方面已經發現了什麼，而且我自己在這上面也花了好幾年的工夫，我就我想到的，把其中的一些事情寫下來，希望能滿足他的（部分）願望。

分式可經由長除法而變成無窮級數；根式可用開方的方法，就像在計算數值的開方那樣，我們只要以符號進行這些計算就好。但根式的計算用下面的定理來得簡短些，……」

牛頓接著寫下他的二項展開式，並舉了一些應用的例子。這一封信一方面確立了牛頓在二項展開式方面的領先地位，而在信中，他不但沒有說明他如何得到二項展開式，而且所舉的例子都是當時大家都已熟知的。所以實際上，萊布尼茲從這封信學不到什麼。

萊布尼茲於八月十七日回了信，敘述了他自己的一些發現，暗示他有個一般的方法。他提到好幾個級數，包括著名的

「讀了萊布尼茲及 Tschirnhaus ^註3 這兩位名家的信函，我真不知怎麼說我有多麼高興。萊布尼茲得到收斂級數的方法非常高明；縱使他不再有其他著作，這已足夠顯示其才氣。然而他在信中其他地方隨處可見的見解，更是名副其實──這使我們更期望他能創造更偉大的結果。朝向同一目標而有各種不同的方法，使我愉快逾常；因為我已經知道三種算得這一類級數的方法，所以我幾乎不曾預期還會有一種新的方法出現。在前信中我已經說過其中的一種，現在我再說另外一種，亦即我第一次發現的方法──在我知道現在我所用的長除法與開方法之前。底下的說明可以把前信開頭的定理來源呈現得清清楚楚──這正是萊布尼茲先生所期望於我者。」

牛頓除了說明他如何得到二項展開式 ^註4 之外，他還給出

從後信的內容來看，牛頓的級數方法的確比萊布尼茲的高明，而萊布尼茲也能從其中窺知牛頓微積分的精神。但萊布尼茲的微積分，從1684年起所發表的論文看來，卻和牛頓的，在方法上、精神上都大大不相同 ^註6 。 牛頓在推銷自己的想法方面是被動的，萊布尼茲則較積極，而且他的微積分符號又具直觀，非常好用。於是萊布尼茲逐漸成為一群活躍的數學家的領袖，這使英國學者很不是味道，他們認為萊布尼茲從牛頓的那兩封信得到重大的啟示──牛頓也這麼認為，而且在1673年及1676年兩次短暫的英國訪問中學得了牛頓的結果，但他居然從未公開如此表示過，所以令人感到不高興。

英國數學家 Wallis 在其全集的序文中說，無窮小的方法是牛頓首先發明的，而且暗示萊布尼茲抄襲了牛頓。在全集中，又載有前後兩信及萊布尼茲與 Oldenburg 來往信函的一些內容摘要。這些摘要的剪裁使人更確信萊布尼茲抄襲的罪行。這是1695年到1699年間的事。

萊布尼茲於1700年時辯解說，他從牛頓那兒得到的是結果，而不是方法，而且在1684年他就發表了他的主要觀點，而牛頓的作品《Principia》要到1687年才刊行。

指控與辯解不就因此而消失。到了1705年，牛頓不滿萊布尼茲對其著作《Optics》（1704年，牛頓的第三本微積分著作為其附錄）的一些評語，於是暗中把許多資料交給 John Keill，而後者終於在1710年提出正式的指控。

被告的是英國皇家學會的外籍院士萊布尼茲，控方的背後主角是皇家學會會長牛頓，而皇家學會的委員會在調查的過程中也不請萊布尼茲來做說明，調查的結果也就可想而知了。

萊布尼茲

皇家學會的審判定了案，但歷史的蕃判才剛開始，牛頓用數學方法解決科學的問題，激起十八世紀歐洲大陸的數學家發揮微積分的最大威力──但他們用的是萊布尼茲的符號及無窮小的想法，使數學與物理有長足的進步。而英國的數學家卻沉醉於牛頓的成就，執著於牛頓的微積分符號，難懂的極限觀念及《Principia》中的古典幾何表示法，自外於歐陸的進展而不自覺。等到1813年，英國部分科學家幡然夢醒，成立「分析學社」(Analystic Society)，譯介歐陸的科學著作，採用萊布尼茲的符號與想法時，英國早就失去了科學研究的主導地位。

近代有關這段數學史的研究，更肯定萊布尼茲的微積分是獨立發展的。經此長達二百年以上的歷史審判，最後的輸家卻是牛頓的徒子徒孫。