曹亮吉

研究數學史最主要的課題是了解一個觀念或一支數學學門的發展過程，或者一個地區內、一段時間內的數學活動。但隨著一股歷史研究方向的多樣化，許多人也嘗試由不同的觀點來看數學史。Crowe 在《Historia Mathematica》2 (1975) 發表的文章〈數學史中變革型態十律〉(ten "laws" concerning patterns of change in the history of mathematics) 就是一個例子。在此我們想介紹 Crowe 所提的十律，並以他給的或者我們添加的例證，加以說明。

一、數學新觀念往往不因創造者的刻意經營而產生，而是與其努力方向正好相反的副產品。

十八世紀末的義大利數學家 Saccheri 為了證明歐氏幾何是唯一的「真理」，從銳角假設出發，得出許多前所未聞的結果。殊不知他努力的結果，卻使非歐幾何學呈現一線曙光（註一）。Hamilton 是另外一個例子，他看到二維的向量可以看成複數，和實數一樣，可以做四則運算。所以他想在三維的向量中也引進四則運算。他奮鬥了十幾年，卻毫無進展。直到有一天，靈光一現，放棄了乘法中交換律的要求，而創造了四元數（不是三維，而是四維）。

二、許多數學新觀念雖然在邏輯上沒有問題，但在其出現初期卻遭到頑強的抗拒，要經過好一陣子方為大家所接受。

不可共約比在兩千多年前就出現了，但據說它的發現者 Hippasus 卻遭到畢氏學 派同門的放逐。解決不可共約比的實數觀念一直要到十九世紀才為大家所接受。 負數的平方根從1543年在 Cardano 公式中出現，直到1830年代， 都是遭人詈罵，被人抗拒的對象。詭辯的、無聊的、無可理解的、虛幻的、 不可能的等等，這些形容詞都曾加在至今仍被稱為「虛」數的身上（註二）。

三、許多新觀念一時無法在邏輯上講得清楚因而遭到抗拒，但由於其有用性，而使得數學家不得不容納它們──縱使在很不情願的情況之下。

虛數當然是個最好的例子。向量的係數積與向量積並不起於有意的發展，而是四元數的計算中習慣用法的延伸。集合論說有理數個數和自然數個數一樣多，但又說實數個數比有理數個數還要多;無論是從包含的觀點或從無窮多的觀點來看，上述兩種說法似乎互相矛盾。而且集合論的濫用，還會導出任誰都無法接受的真矛盾。但另一方面，有了集合論，許多數學敘述及推理變得更加言簡意賅，無窮觀念因而有了層次之分（並不是所有的無窮多都一樣）。濫用引起不安，但好用卻使人不得不接納。

四、教科書中，許多數學領域之有條不紊的呈現，經常是該領域發展後期才有的，而且之所以走上嚴謹的道路，並不是創造者有意的尋求，而是不得不然耳。

牛頓與萊布尼茲在乎的是發展微積分，並沒給微積分立下嚴格的邏輯架構。他們一定不喜歡現今微積分課本的一絲不苟，甚至有些地方還看不懂呢！一般學生如果無法領會微積分的要意，往往會在它的邏輯問題上打轉；學者對無窮小的攻擊；學者希望微積分也像平面幾何那樣的有條有理。這些外在的因素才是促使微積分在十九世紀走向嚴格化的動力。嚴格的要求而且是漸近的。M. Kline 曾說：「可能除了數論之外，在1800年之前，數學中沒有那一分支所給的證明，以1900年的標準而言，是令人滿意的，而1900年的標準，在今天也不適用了。」也許你會認為平面幾何是個例外，其實直到1899年 Hilbert 才真正把其公理化做得徹底。

五、在同一個時期，數學家對數學知識的認定是多層的。一個數學家雖然不一定有明確的數學形上學觀，但在他的作品中或在他的教學中就會有較明確的表白。

二十世紀有所謂的直觀學派、形式學派及邏輯學派之爭。大多數的數學家不一定確屬那一學派，但在其作品中有時可以看出來，他是比較贊同那一種觀點。此外，我們對於一個領域、一個定理的內容、一個定理的證明，有時會加上漂亮的、醜陋的、有意思的、無聊的、好的、壞的等等形容詞，這些都帶有數學形上學的觀點。

六、一個新的數學觀念，其為人接受的程度，往往要看創造者的名氣，尤其以打破傳統的觀念為然。

Lobachevsky 及 Bolyai 的非歐幾何學，就像它們的作者一樣默默無聞。Gauss 死後，其有關非歐幾何學的信件一經發表，這門新學問，才像 Gauss 生前的名聲，一下子發展得紅得發紫（註三）。

七、數學的創見往往在原來問題所限定的範圍外成長。要突破自我設限卻是件不容易的事。

Hamilton 認為他的四元數與微積分一樣重要，是數學物理的主要工具。其實發明四元數的重要性不是四元數本身，而在於其影響代數的運算觀念。在此之前，無論是實數或複數，四則運算都有其既定的規矩。四元數的乘法交換律不成立，使人逐漸覺悟運算的規矩可因需要而有不同的要求。這樣向量代數的觀念及運算才變成可能，而向量代數才是數學物理的主要工具之一。如此一來，代數學的觀念與目的才變得更自由、更寬廣。

八、好幾個人同時而又獨立地發現數學新觀念，這是常態而不是例外。

Descartes 及 Fermat 的解析幾何（註四），牛頓及萊布尼茲的微積分，Lobachevsky 及 Bolyai 的非歐幾何學（註五）， Dedekind、Weierstrass 及 Cantor 等人的實數理論都是耳熟能詳的例子（註六）。

九、歷來數學家總是擁有許許多多的技巧，以消解或避免邏輯矛盾所引起的問題，而使數學免於產生危機。

科學史名著 T. Kuhn 的《科學革命的結構》(The Structure of Scientific Revolutions) 就指出科學家用來防止異例引起危機的許多策略。I. Lakatos 在《證明與否證》(Proofs and Refutations) 的書中，也一再說明數學家應付危機也有許多法寶，「不讓怪物進來」就是名字生動的一招。面對不可共約量，希臘數學家就說非比量（無理量）不是數，然後發明一套比例論來解決問題。面對微積分的基礎問題，d'Alembert 叫學生不要氣餒，說持之有恆地用微積分，自然對微積分會有信心。集合論有問題，就設法為集合論設限，使其不產生危機。

十、數學從來沒發生過革命。

哥白尼的太陽中心說推翻了統治天文學千餘年的地球中心說，使天文學掀起了革命。數學史上改朝換代的事情並未發生過。研究平行公理的結果雖然產生了許許多多非歐幾何，但歐氏幾何並沒被推翻掉，它仍然是數學的知識。Hankel 說過：「在大部分的科學學門中，新一代的科學家會把前一代所建立的理論推翻，……。只有在數學中，新一代的數學家是在舊有的基礎上再添蓋更高的樓層。」Fourier 也說過：「數學這門科學是慢慢形成的，但只要一旦獲得某種原理，就一直擁有著它；在人類思維的種種變異與錯誤之中，數學逐漸成長而茁壯。」

註一：參閱《科學月刊》第十五卷第一期(1984)〈歐幾里得無瑕獲釋〉一文。

註二：參閱《科學月刊》第十六卷第一期(1985)本欄。

註三：參閱《科學月刊》第十六卷第一期(1985)〈代數學基本定理〉一文。

註四：參閱《科學月刊》第十五卷第十一期(1984)〈解析幾何〉一文。

註五：參閱《科學月刊》第十五卷第二期(1984)本欄。

註六：參閱《科學月刊》第十四卷第一期(1983)〈實在而具體的數〉一文。