．原載於科學月刊第十五卷第四期
．作者當時任教於台大數學系
•註釋
Achilles 的腳跟
曹亮吉
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．原載於科學月刊第十五卷第四期 ．作者當時任教於台大數學系 •註釋 | |||
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Achilles 的腳跟
曹亮吉 |
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荷馬史詩《伊里亞得》(Iliad) 中的主角 Achilles 是 Myrmidons 國王 Peleus 及海神 Thetis 的兒子。他長得英俊，人又勇敢，是圍攻特洛城 (Troy) 諸將中戰績最顯赫的一位。在圍城的頭九年裏，他攻下了鄰近的十二個城市。第十年，因與主將 Agamemnon 失和，不再參與圍城，竟使圍城部隊幾乎崩潰；幸而不久與主將重行修好，攻下特洛城，同時刺殺了特洛王子 Hector。根據傳說，在 Achilles 小時候，他的母親 Thetis 曾經握住他的雙腳，把他浸入 Styx 河中，使他變成了金鋼不壞之身；但被握住而沒沾到水的雙腳跟卻除外。因此「Achilles 的腳跟」就成了含意為「弱點所在」的俗語。
除了有「Achilles 的腳跟」外，其實 Achilles 還另有一個弱點……
Achilles 有一天被西元前五世紀的哲學家 Zeno 請去和一隻烏龜賽跑。因為英雄了得，Achilles 很爽快答應了主人的請求，讓烏龜先生先跑幾步。想不到 Achilles 還沒起步，Zeno 已經判定烏龜先生獲勝。Achilles 還待提出嚴重抗議，Zeno 已經把判決說明遞了下來。Zeno 說，請看圖一，假定開始的時候，你的位置在 A0，而烏龜先生在你前頭 T0 處。等你趕到 T0 處，烏龜先生雖然跑得慢，他可不是原地踏步，他已經跑到前面一點 T1。同樣道理，等你趕到 T1 處，烏龜先生已經又前進到 T2 處。如此繼續下去，雖然你愈趕愈近，終究還是落後了一點，永遠趕不上烏龜先生啊！
俗話說：秀才遇到兵，有理說不清。風水輪流轉，這回輪到我們的百戰英雄 Achilles 被秀才辯士 Zeno 抓住了口舌不便給的弱點，而敗下陣來。Zeno 所提出的詭辯深深觸及時空與數的基本概念，二千五百年來一直都是學者專家爭論的題材。Achilles 雖然英雄氣短，Zeno 卻成了科學史上的英雄人物。
Zeno 生於西元前480年左右，住在義大利南部的 Elea 城，是希臘哲學 Elea 學派的主將。他提出許多詭辯，其中有四個是關於運動的，編造出來的 Achilles 和烏龜賽跑的故事就是其中的一個。他提出這些詭辯的真正用意並不清楚。有人認為 Zeno 是為其師 Parmenides 辯護的，因為後者主張感官世界也不過是個幻像，所以 Zeno 想辯說「運動是不可能的」以為支援。有人認為 Zeno 要攻擊畢氏學派，因為他們持數學原子論，認為有不可分割的幾何點。其實，我們連 Zeno 真正說過什麼都不太清楚，因為他的作品並沒有流傳下來。我們只能從亞里斯多德的作品《Physics》來了解 Zeno，而亞氏談及 Zeno 的詭辯，為的是要力斥其非。
第一個詭辯為二分 (dichotomy)。Zeno 說：運動是不可能的，因為在完成運動的過程中，先得到達全程的中點。（當然在到達中點之前，先得走過一半的一半，……）亞氏認為空間和時間可以有兩種無窮的意思，一是長度無窮，另一是無窮可分。既然 Zeno 認為可以把有限空間無窮分割下去，那麼與分割點相應的時刻雖然有無窮多，但一樣可以含在有限的時間內。
第二個詭辯就是 Achilles 與烏龜賽跑。亞氏認為 Zeno 的錯誤如前，所以駁斥其非的理由也如舊。
第三個詭辯稱為飛矢 (arrow)。Zeno 說：在任一時刻，飛矢總是占著與其等長的空間，因此在那時刻是不動的。因為在任一時刻總是不動，所以從頭到尾，飛矢是不動的。亞氏認為 Zeno 的整個論點在於假設時刻是不可再分割的，所以在任一時刻飛矢總是不動。為了免除矛盾，亞氏認為只要不承認有不可分割的時刻就好了。
最後一個詭辯稱為競技場 (stadium)。因為亞氏說得不清不楚，我們只能猜 Zeno 的原意如下（見圖二、三）：在競技場上有三列賽車A、B、C，每車各有三節長。假定時間有最小的（不可分割的）單位，而在這單位時間內，A車向左移動一個車廂，B車不動，C車向右移動一節車廂。如此一來，A車與C車就相差了兩節車廂。那麼在這個過程中，當A車與C車移動到只相差一節車廂所花去的時間，應該是單位時間之半。但是這和單位時間不可再分割的假定就衝突。「所以，半個單位時間要等於一個單位時間？」
如果 Zeno 的原意是這樣，亞氏就答非所問了，因為亞氏駁斥說道：Zeno 忘了相對速度與絕對速度之不同，以至於有半個單位時間要等於一個單位時間這樣的矛盾結論。
亞氏認為 Zeno 提出這些詭辯，就是想詭辯運動是不可能的，而亞氏只想把 Zeno 的論點一一駁倒就好。至於 Zeno 提出這些詭辯的真意何在？這些詭辯真正內容如何？如何說明 Zeno 錯在那裏？這些問題不但亞氏沒有說明清楚，二千五百年來也都一直是專家學者爭論的的話題。
當時對時空的看法有兩種，一種是：時間與空間可以一再分割下去，永遠沒有止境，（「因此」運動是連續的。）另一種是：時間和空間都有最小的、不可分割的組成單位，（「因此」運動是電影式的。）一般認為 Zeno 的原意是要向這兩種看法提出挑戰：頭兩個詭辯要說明無窮分割論是無法立足的，後兩個詭辯則要說明不可分割單位也是不能存在的。
這是一般的看法，細節方面卻還有更多問題值得討論。
在第一個詭辯中，我們一步步往回倒，一步步接近出發點，那麼我們到底會不曾回「到」出發點？ 戰國名家公孫龍有言：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。這種說法豈不與 Zeno 的遙相呼應？ 同樣的，我們也可以問 Achilles 如何追「上」烏龜？這些都牽涉到「無窮」的觀念， 而且「無窮」還有許多不同的樣式。
在兩個詭論中，我們至少承認：我們可以無窮地接近出發點，Achilles 可以無窮地接近烏龜。 「無窮地接近」用現在數學的行話來說就是極限的問題。
在 Achilles 的問題中，Achilles 從 A0 到 A1，到 A2，……，在沒趕上烏龜之前，這些分點的個數是有限；但要趕上烏龜，卻也非考慮愈來愈多的分點不可。這類無窮多稱為潛在的無窮多，在數學上比較好處理。
與此相似，但也是相對的，在第一個詭辯中，在出發後的任何時刻內，我們都已經歷過無窮個分點了，這是真正的無窮多，而不是潛在的無窮多。假定 Achilles 追上了烏龜，那麼在此過程中，任何時刻烏龜所占的位置可以和 Achilles 所占的位置一一對應起來。雖然所花的時間相同，烏龜和 Achilles 所經歷過的位置就要一樣多（真正的無窮多），但是烏龜所經過的路程卻比較短。這也是令人困擾的問題。許多哲學家發現沒辦法完全解決 Zeno 所帶來的問題時，就會說「無窮」是超乎想像的，不可以論理的，「所以」Zeno 所提的問題不是問題。
時間是不是有最小單位？Zeno 以飛矢不動的詭辯否定了這種想法。但慢著，請 Zeno 上電影院，他就非看得目瞪口呆不可。當我們以每秒十六張的速度，把一張張畫面靜止的底片順序捲過，不動的矢就飛了，而且飛得很平滑，絲毫沒有不連續的感覺。因此，由希臘人兩種時空觀念所得的運動形態，實際上我們感覺不出其不同之處。運動到底是什麼？恐怕就是啟 Zeno、亞里斯多德於地下，讓他們再三深思也難以得到滿意的答案。
時間如果沒有最小的單位，可以一再分割下去，那麼「最後」會剩下什麼？「現在」這個詞語有沒有精確的意義？是否相對應於幾何中理想的「點」，時間也有「時點」？幾何的點、時間的點有沒有大小？如果沒有，它們如何組成線、組成時間？如何產生運動？如果有，它們是否可以再分割？我們希望幾何點和時點都是很小很小，比任何量都小，但又不能為 0，這就是令人左右為難的「無窮小」。
希臘人總覺得數是離散的，時間和直線卻是連續不斷的，但又希望把數和直線以及時間對應起來。那麼什麼是「連續」？數、直線及時間到底是什麼？它們之間真的可以對應起來嗎？
這種種問題正好暴露了人類對時空與數認知的脆弱；想在認知方面更進一步，只有面對我們自己的「Achllies 的腳跟」了。
由於無窮小令人左右為難，有好一陣子，大家都儘量避免使用。阿基米德為了避開無窮小，還特別提出兩量之間的關係如下：若有非零的兩量 A 與 B，則 A 的適當倍數會超過 B，即 nA > B 若 n 是夠大的整數。這就是所謂的阿基米德性質；無窮小違背這個性質，所以不認為是個量。禁止歸禁止，事質上，阿基米德用槓桿原理求面積、求體積時就偷偷地用上 註1 。其實用的得當，無窮小還可以解決不少的問題。十六世紀以後，無窮小漸漸流行，Kepler、Galilei、 Cavalier、Fermat、牛頓、Leibniz 等人都用得很好，在微積分的發展過程中占了很重要的地位。雖然它在邏輯方面沒有嚴格的基礎，逐漸為動態的窮盡法所取代，但在直觀了解微積分的原理與技巧方面，它仍然占著非常重要的地位註2。
應付潛在的無窮多，數學家發展了無窮數列、無窮級數的方法。譬如假設圖一中的 A0 T0 長為 10 公尺，Achilles 的速度為每秒 10 公尺，烏龜的速度為每秒 1 公尺。則 T0 T1、T1 T2、T2 T3、……之長各為 1、0.1、0.01、……公尺，而 Achilles 要跑完這些線段各花去 0.1、0.01、0.001、……秒。所以烏龜跑到 Tn 時，Achilles 只落後 10-(n-1) 公尺，而 Achilles 只花了
因為
所以 Achilles 用在追趕烏龜的時間絕不會超過 
而花去的時間正好是  秒：
在取極限前，我們所考慮的都是有限可算的。有限可算加上極限就是應付「潛在無窮多」的無窮數列、無窮級數的方法。無窮級數同時也解決了數學的一個困境：無窮項相加有時的確會加成一個有限數。
現代的數學家對於時間、直線真正是什麼的問題並不感到興趣，他們認定這兩者都可以和數對應起來，數學式的直線與時間只不過是數的另外兩種表現而已。所以只要把數弄清楚就好。這件工作從古希臘開始，一直到十九世紀下半葉為上，才大功告成。有了建構完全的實數系統，不但連續、極限的觀念得以用數學的方法澄清，而且微積分的理論也才可能有堅強的基礎。 註3
在這種實數模型下，時間與直線都是由時點與幾何點所組成的，點本身沒有大小。時間與直線都是無窮可分割的，但只要分割的方式是一刀一刀的、潛在無窮的（而不是真正無窮的），那麼分割的結果決不會都變成一個個的時點或幾何點。有了這種不同於希臘人觀念中的分割及組成單位，Zeno 詭辯所引起的許多問題都可以迎刃而解。
十九世紀下半葉，數學發展的另一件大事就是 Cantor 建立了無窮集合的理論，使人們勇敢而有效地面對真正無窮多的問題。這個理論最突出的地方，就是兩集合 A、B 的大小可以有兩種解釋。一種是當集合 A 包含於集合 B 內（即 A 為 B 的子集合），就認為 A 小於（或等於）B；另一種是當 A 的元素可以一一對應到 B 的一個子集合裏，就認為 A 的個數小於（或等於）B 的個數，而當 A 的元素可以一一和 B 的元素對應起來，那麼 A 的個數就和 B 的一樣多。集合論中最重要的一個定理就是：一個無窮集合的個數一定會和它的某個（不是本身的）子集合的個數一樣多；這正是無窮集合與有限集合之間根本不同的地方。所以，烏龜所跑過的線段雖然含於 Achilles 所跑過的線段內，但兩者所含的點卻可以一一對應，這件事就不稀奇了（見圖四）。
集合論的另一個結論說：實數的個數大於有理數的個數。這也足以說明十九世紀的實數結構和希臘人的會有那麼不同的地方。
Zeno 的詭辯引起了數學家、物理學家及哲學家的熱烈討論。數學家雖然沒辦法把所有的問題解決，但他們對數、極限、連續、無窮小等觀念卻做了相當程度的澄清，使這些觀念再也不是我們的「Achilles 的腳跟」。
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| 編輯：朱安強 ／ 繪圖：簡立欣 | 最後修改日期：2/17/2002 |
