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．原載於科學月刊第十五卷第一期
．作者當時任教於台大數學系
 

歐幾里得無瑕獲釋？

曹亮吉

 
 

歐幾里得在其名著《原本》一書中。從五個公理出發，使用五種邏輯用法，一共推出了465個定埋，使原本成為整理數學的範本。

這五個公理是

一、兩點間必可聯一條直線。
二、直線可以任意延長。
三、已知圓心及半徑可作一圓。
四、凡直角皆相等。
五、如圖一，兩直線 AB、CD 被另一直線截於 E、F，若 $\angle AEF + \angle CFE < 180^{\circ}$，則兩直線在 $\overrightarrow{EA}$、 $\overrightarrow{FC}$ 的方向相交。


圖一

第五個公理就是有名的平行公理。它不像前面的四個公理那麼自明，亦即那麼簡單明瞭，那麼眾所公認。雖然前人並不懷疑歐氏幾何描述物理空間的真實性，但從有《原本》開始，大家就懷疑平行公理是否可以由其他的公理推出，或者可以用另一個更自明的公理來代替。歐幾里得本人也有此疑問，所以他在導出定理的過程中，能不用平行公理就不用，一直拖到第二十九個定理才不得已用上它。平行公理通常以如下的等價形式出現:過直線外一點有唯一的一條直線與其平行。所謂平行就是「永」不相交的意思，這就牽涉到「無窮」──一個不很自明、無法親身經驗到的觀念。歐幾里得不採取後一種形式的平行公理，也許也是要使平行公理顯得更自明的緣故。

其實從現代的眼光看來，歐幾里得所列舉的公理，就整體言並不完備，就個別言也不一定明確。所謂不完備，就是說他的公理不夠多，不足以推出原本所列的465個定埋;他之所以能「推出」這麼多定理，只因在推演的過程中，不自覺地用了許多未言明的假設。關於不明確，我們舉出公理一及公理二為例。公理一說兩點間必可聯一直線，但是否可以聯更多條的直線卻沒有說明。公理二說直線可以任意延長，但是否直線的長度無限也沒有說明。雖然沒有說明，但從原本的內容來看，歐幾里得暗地裏認為:兩點間只可以聯一條直線，而直線的長度無限。

如果只依照公理的字面從寬解釋，那麼前四個公理所說的不一定就只限於心目中的平面幾何了。因為如果球面上的大圓弧就是「直線」，那麼球面幾何也滿足前四個公理。

《原本》的評者，五世紀的 Proclus 對平行的觀念提出質疑。他說：歐幾里得平行公理中的那兩條直線會不曾像雙曲線與其漸近線一樣，雖然愈往遠處愈相近，但卻永不相交呢？雖然有此疑問，但他還是認為平行公理其實是一個定理，他有辦法把它導出。他的「證明」是基於以下兩個「自明」的假定：兩相交直線間，從一直線上一點到另一直線的距離，隨著該點與交點相離而無限增大；兩固定平行線之間的距離不能任意增大。其實這些假定並不能從其他的公理推出，也就是說即使滿足那四個公理也不能保證這樣的假定是對的。譬如球面幾何就是第一個假定的反例。Proclus 不過是用這些假定代替平行公理罷了，而代替者是否比所替代的更自明，則是見仁見智的事。

兩千年來，不斷有人不自覺地用了代替品「證明」了平行公理，接著有人指出其非；指正者又試著證明平行公理，而又不自覺地犯了錯誤。也有人擺明想用自認為更自明的公理來代替平行公理。前一類嘗試當然註定失敗，因為平行公理是獨立於其他四個公理的，是不能從它們導出來的。後一種嘗試的核心問題則在於「自明」沒有客觀的標準。大數學家 Legendre（1752-1833年）更是迷上了平行公理，二種嘗試都來，前後二十年之久，給了許多「證明」。

除了「過直線外一點有唯一的平行線」外，平行公理的常見代替品如下所列，其中(2)(7)(8)，Legendre 都用過。

  1. 有兩條到處等距離的直線。
  2. 有兩個不全等但相似的三角形。
  3. 一四邊形若一雙對邊相等，且與第三邊都成直角，則其他兩角都是直角。
  4. 一四邊形若有三個內角為直角，則第四個內角也是。
  5. 至少有一三角形，其內角和為180度。
  6. 三角形的面積不會都小於一個固定值。
  7. 過一個小於 $60^{\circ}$ 的角內一點都有一直線與角的兩邊都相交。
  8. 不在一直線上的任三點會在一個圓上。

觀察球面幾何就發現前六個代替品並不能從頭四個公理導出。如果把頭四個公理做較嚴格的解釋，雖然球面幾何不再是個例子，但我們仍然能舉出一種幾何，它滿足頭四個公理，而上面所列的代替品在這種幾何上全都不對。這種幾何就是所謂的雙曲非歐幾何。Legendre絕沒料到會有這樣的幾何，難怪要白花了二十年的心血。

在一篇名為〈歐幾里得無瑕獲釋〉的論文中，義大利的數學家 G. Saccheri （1667-1733年）從另一個角度，想證明平行公理。在圖二中假設 AD=BC， $\angle A =\angle B$ =直角。由全等形的定理馬上導出 $\angle C = \angle D$。Saccheri 根據這兩個等角的大小考慮下列三種可能：（一） $\angle C = \angle D$=直角，（二）鈍角，（三）銳角。他想用反證法，說明鈍角與銳角的假定都會導出矛盾，因此只有直角假定是對的，而它正好和平行公理等價。


圖二

鈍角假定相當於「過直線外一點沒有任何直線與之平行」，銳角假定相當於「過直線外一點可以引無窮條平行線」。就如 Saccheri 所言，鈍角假定可以輕易去除，為此我們先看《原本》中的一個定理。

《原本》第一卷第十六定理說：三角形的外角要大於不相鄰的任一內角。歐幾里得的證明是這樣的：在圖三中，取 AC 的中點 D，聯 BD，延長一倍至 E，聯 CE。則由全等形可知 $\angle A = \angle DCE$ $< \angle ACF$。這樣的證明「看」起來沒錯，但要假定直線長度無限，否則E點也許會繞回到 BD 線段上，像球面上的直線（大圓弧）那樣。


圖三

《原本》利用定理十六，在定理二十七中證明了：過直線外一點必可引一平行線。借用圖一，設 E 為直線 CD 外一點，取 CD 上任一點 F，作 $\angle AEF = \angle DFE$。若 $\overrightarrow{EA}$ 與 $\overrightarrow{FC}$ 交於 G，則得三角形 GEF 的外角 $\angle DFE$ 和不相鄰的內角 $\angle AEF$ 相等，這和定理十六互相矛盾。同理 $\overrightarrow{AE}$ 和 $\overrightarrow{FD}$ 也不能相交。因此 AE 和 CD 平行。

有了「直線長度無限」的假定，就一定有平行線，所以鈍角假定就不能成立。如果進一步假定歐幾里得的平行公理，「過直線外一點只能引一平行線」的結果一下子就可得到。

為了去掉銳角假定，Saccheri 從銳角假定出發，導出許多歐氏幾何中沒見過的、稀奇古怪的定理，古怪到一個程度後，Saccheri 就宣布得到矛盾，而判定歐幾里得無瑕獲釋。其實他導出的怪是怪，卻是千真萬確的定理──雙曲非歐幾何中的定理。只因時代未到，Saccheri 無法擺脫「歐氏幾何即是真理」這種先入為主的想法，所以做不成非歐幾何學的開山祖師。

G. Klüger（1739-1812年）在其1763年的論文中說：我們所以接受平行公理是基於經驗，而與「自明」無關。他懷疑平行公理是否可以經由其他四個公理導出，而且認為 Saccheri 並沒有導出矛盾，雖然其結果和經驗並不符合。

另一位數學家 J. Lambert（1728-1777年）考慮三個內角為直角的四邊形，一樣對第四個內角做直角、鈍角、銳角三種假定，也很快除掉鈍角假定，從銳角假定他也導出三角形內角和要小於 $180^{\circ}$ 的結果，而更進一步指出內角和與 $180^{\circ}$ 的差要正比於此三角形的面積，這和球面幾何的情形很類似，因此認為銳角假定也許會在某些半徑為虛數的擬球面上實現。他對銳角假定是否會引出矛盾並沒做最後的判定，因此他的論文也沒正式發表。

另外還有一位 F.K. Schweikart（1780-1859年），在1816年得到結論說，除歐氏幾何外，應該還有一種幾何，其假定就是基於三角形的內角和不是 $180^{\circ}$。他說這種幾何可能適用於星際空間，因此稱為星際幾何 (astral geometry)。他的侄兒 Taurinus（1794-1874年）研究星際幾何，認為它在邏輯上是沒有矛盾的，但我們的物理空間卻是歐氏的。

這些人雖然一步一步走向新的道路，認知：平行公理不是其他公理的必然結果；否定它也能有沒有矛盾的幾何。但他們總是把物理世界和數學模式攪混在一起，無法擺脫流行於當時的康德哲學：物理空間之為歐氏的是先驗的，因此無法勇敢地聲明：歐氏幾何只是描述物理空間的一種幾何，而非歐幾何也可能描述得一樣好，或更好。這些數學家幾乎成了，但終究做不成非歐幾何的創始者。真正上道還有待來人。

請續讀本篇姊妹作〈無聊與多餘之後〉。

 
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編輯：陳文是 最後修改日期：5/2/2002