實在而具體的數

．原載於科學月刊第十四卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

實在而具體的數

曹亮吉

能滿足一整係數多項式方程式的數稱為代數數，否則稱為超越數。上回談實數觀念的歷史發展說，在十八世紀時有人猜測圓周率 π 是個超越數，可是終此世紀，數學家沒找出一個超越數來。

十九世紀初，Abel、Galois 等人證明：五次或五次以上的方程式的根，一般不能用方程式的係數經由四則運算及開方的方法來表示，所以一般代數數的模樣真是難以想像，更何況是超越數。1884年，Liouville 總算在超越數的研究方面有了大突破，他的主要定理如下：

定理假定整係數 n 次方程式 f(x)=0 沒有有理根，而 x₀ 為它的一個無理根，則一定可以找到一個正數 M，它會有下面的性質：

對任何整數 p, q（>0）， $\vert\frac{p}{q} - x_0\vert$ 一定大於 $\frac{M}{q^n}$ 。

證明先考慮區間 [x₀-1, x₀+1] 內的 $\frac{p}{q}$ 值。由微積分的平均率定理，就知 x₀、 $\frac{p}{q}$ 之間會有一數 x₁（它當然在我們考慮的區間內）使得

$\begin{displaymath} f'(x_1)(\frac{p}{q} - x_0) = f(\frac{p}{q}) - f(x_0) = f(\frac{p}{q}) \end{displaymath}$

但另一方面，在此區間內，f'(x) 的絕對值要小於一個定數：|f'(x)| < K；另一方面， $\frac{p}{q}$ 可經通分而寫成 $\frac{r}{q^n}$ 這種形式，r 為整數，且不為 0（否則 $\frac{p}{q}$ 為 f(x) 的有理根）。因此

$\begin{displaymath} \vert\frac{p}{q} - x_0\vert = \vert\frac{f(\frac{p}{q})}{f'(x_1)}\vert > \frac{\vert r\vert}{q^n K} \geq \frac{1}{q^n K} \end{displaymath}$

如果 $\frac{p}{q}$ 在區間 [x₀-1, x₀+1] 之外，我們當然有 $\vert\frac{p}{q} - x_0\vert > 1 \geq \frac{1}{q^n}$ ，所以只要取 M 為 $\frac{1}{K}$ 及 1 兩數中較小的一個，定理就得證了。

用這個定理，Liouville 一下子就找出了一大堆超越數。

例

$\begin{displaymath} x_0 = \frac{a_1}{10^1} + \frac{a_2}{10^{2!}} + \cdots + \fra... ...\char 98}{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}} \end{displaymath}$

證明如果 x₀ 是代數數，那麼它要滿足一整係數多項式方程 f(x) = 0。如果 f(x) 有有理根 $\frac{a}{b}$ ，則 f(x) 可分解成 f(x) = (bx - a) g(x)，而 g(x) 仍為整係數，且 g(x₀) = 0，所以一開始就可以假定 f(x) 沒有有理根。設 M 為定理中的正數，若取

$\begin{displaymath} \frac{p}{q} = \frac{a_1}{10^1} + \frac{a_2}{10^{2!}} + \cdots + \frac{a_m}{10^{m!}}, \quad q = 10^{10!} \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath} \vert\frac{p}{q} - x_0\vert = \frac{a_{m+1}}{10^{(m+1)!}} + ... ...frac{1}{10^{(m+1)!-1}} < (\frac{1}{10^{m!}})^m = \frac{1}{q^m} \end{displaymath}$

若 m 夠大， $\frac{1}{q^m}$ 當然要小於 $\frac{M}{q^n}$ ，這就和定理的內容相背了。所以 x₀ 不能滿足任何整係數多項式，也就是說 x₀ 不是代數數，而是超越數。

例中 x₀ 的無窮小數表示

$\begin{displaymath} x_0 = 0.a_1 a_2 000 a_3 \underbrace{000 \cdots 0}_{17 \mbox{... ...mily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 95}} 0} a_4 0 \cdots \end{displaymath}$

大部分位數為 0，而且連在一起的 0 的個數增加非常迅速，從證明中可以看出來，這正是 x₀ 為超越數的原因。所以一般而言，如果一個無窮小數

$\begin{displaymath} \frac{a_1}{10^{p_1}} + \frac{a_2}{10^{p_2}} + \cdots + \frac... ...}{10^{p_m}} + \cdots, \quad p_1 < p_2 < \cdots < p_m < \cdots \end{displaymath}$

中的指數 p_m 迅速增加，超過一個程度（這個程度可用數學語言來表示），那麼它就是一個超越數。

尋找個別超越數的故事當然不能不提下列兩件事：1874年 Hermite（1822～1901年）證明 e 為超越數；1882年 Lindemann（1852～1939年）證明 π 為超越數──證實了前此的猜測，也結束了化圓為方的美夢。

1900年，Hilbert（1862～1943年）在第二次國際數學會上提出了二十世紀待解的23個數學大問題。其中第七個問題就是要證明 $2^{\sqrt{2}}$ 這樣的數是超越數（一般的結果是：當 a 是不為 0 或 1 的代數數，b 是不為有理數的代數數，則 a^b 必為超越數）。經此刺激，二十世紀在尋找超越數方面有很大的成就。

以上是對代數數、超越數個別認識的歷史，現在回過頭來看實數全體。

微積分有兩面，一面是應用，一面是本身的邏輯建構。由於深受希臘數學嚴謹的影響，雖然微積分的威力有目共睹，但其邏輯結構的問題，始終讓數學家耿耿於懷。十九世紀，當數學家試圖把微積分及分析學嚴謹化時，他們愈來愈覺得所面對的其實是實數本身的問題。經由視覺觀察幾何圖形也許很容易了解函數連續的意義，但怎麼用數學的語言來表示連續的概念呢？實數軸是個連續直線，那麼其相應的實數的連續性又如何做嚴格的定義？極限為微積分的最重要觀念，那麼極限的意義又怎樣用數學來表示？這種種都牽涉到實數是什麼的問題。

在1872年左右，有好幾位數學家同時提出了實數系統建構的理論。他們都把有理數當做已知的東西，從而描述實數系統。他們描述的方法雖異，但從數學的結構觀點來看，所描述的卻是同樣的東西。

第一種描述方法是 R. Dedekind（1831～1916年）提出的。如果在一直線上規定好 0 點及單位點 1，則有理數都可以依距離及正負對應到此直線上。如果我們在直線上砍一刀，在斷口左邊的所有有理數集合稱為 A，其右邊的稱為 B。若斷口正好是有理數，則此有理數可以任意規定屬於 A 或 B。A、B 這兩個有理數的子集合有下列兩個性質：一、A、B 都含有有理數，且 A 及 B 的聯集為有理數；二、A 中的有理數必小於 B 中的有理數。我們藉幾何直觀而得 A、B 這兩個集合，反過來，我們可以完全捨棄幾何，而考慮滿足上述兩個性質的有理數子集合 A、B。這樣的 A、B 稱為一個斷口，以 (A,B) 表之。Dedekind 說，(A,B) 就代表一個實數，而且實數的全體就是所有斷口的集合。如果 A（或 B）中有最大（或小）的有理數，則 (A,B) 代表的就是這個有理數。如果 A 中沒有最大，B 中沒有最小的有理數，則 (A,B) 代表的是一個無理數。無論如何，(A,B) 代表的是在直線上由其所決定的斷口。（當然不會有 A 中有最大，同時 B 中有最小有理數的情形。）為了完全脫離幾何直觀，我們還得定義兩個斷口 (A₁, B₁) 和 (A₂, B₂) 相加、相減、相乘或相除後應該是相應到那個斷口，同時也要定義兩個斷口的大小關係，這些其實都不難。

直觀上我們認為 Dedekind 的斷口會和直線上的點一一對應；另一方面，我們也可以證明有些斷口並不相對於有理數，也就是說 Dedekind 的實數系統確實是有理數系的擴張。如果把 Dedekind 的實數全體也分成 A、B 兩子集，而且也滿足上面兩個條件，我們一樣可以考慮斷口 (A,B)。那麼我們還能得到 Dedekind 實數系統的再擴張嗎？答案是否定的，因為我們可以證明：或者 A 含有最大的實數，或者 B 含有最小的實數，所以斷口還是在原來的實數上。這是實數的完備性，同時也表現實數的連續性。仔細研究 Eudoxus 的比例論（見《科學月刊》第十二卷第五期(1981)本欄）和 Dedekind 的實數系統，你一定發現它們有多麼的相似。Dedekind 自己也承認，他的理論源自二千三百年前的比例論。

G. Cantor（1845～1918年）和 C. Meray（1835～1911年）提出另外一種描述實數的方法。一個有理數列 {x_n}，如果當 m、n 夠大時，|x_m - x_n| 就會小到任何預定範圍內，則 {x_n} 稱為一個基本數列。如果把一基本數列相應的點標在直線上，則這些點終究會擠在一起。Cantor-Meray 希望他們的實數系統會使 {x_n} 趨近於一實數，所以乾脆就讓 {x_n} 代表一實數。但另一基本數列 {y_n} 也可能趨近於同一實數。所以如果 $x_n - Y_n \longrightarrow 0$ ，在 Cantor-Meray 系統中，就認定 {x_n} 和 {y_n} 表同一實數。我們很容易定義兩基本數列的四則運算及大小關係，而且任一原來的有理數 x，也可以相應到一基本數列 {x_n}，其中任一 x_n 都和 x 相等。這樣，我們也看得出來：Cantor-Meray 的實數系統是有理數系的擴張，而且也可證明它具有完備性，亦即用同樣方法並不能再把此系統擴張出去。

Cantor-Meray 實數系統的最具體表示就是無窮小數。任意無窮小數 $x = a_0 + \Sigma_{m=1} \frac{a_m}{10^m},$ （ $0 \leq a_m \leq 9$ , a₀ 為整數），都可以看成基本有理數列 {x_n}， $x_n = a_0 + \Sigma_{m=1}^n \frac{a_m}{10^m}$ ，而數列 {x_n} 在實數系統中實際上收斂到 x 值。

Cantor 在數學上的主要貢獻是集合論，而集合論最初最主要的突破就是把無窮元素的集合也分出大小。他的結論說：有理數的個數和自然數的個數一樣多（彼此之間有 1-1 對應），代數數的個數也一樣。這些集合的元素都可以按某種順序一個一個排列下來；實數就不然，這可利用實數的無窮小數表示法來證明。這個結果的主要意義是說：實數（也就是說超越數）的個數要比代數數多得太多。如果對實數的了解僅止於代數數，那麼看到的只是全豹的一斑。

Dedekind 或 Cantor-Meray 的實數建構看起來很抽象，但它們卻可經由已知的有理數來定義得清清楚楚。它們可用來澄清連續與極限的觀念，使微積分立於堅固的邏輯基礎上，使分析學的嚴謹化達成目的。另一方面，抽象與具體原本是對立的，只要浸淫良久，仔細了解實數有趣而漫長的歷史，從各個角度接觸實數的性質，對實數的感覺就會顯得像它的名字一樣是實在而具體的。

對外搜尋關鍵字：
．實數
．代數數
．Liouville
．超越數
．Hermite
．Lindemann
．化圓為方
．Hilbert
．Hilbert數學問題
．Hilbert第七問題
．Dedekind
．Dedekind的斷口
．比例論
．Cantor


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

最後修改日期：2/17/2002