曹亮吉

前言 1. 圓面積的求法 2. 拋物線的弓形面積 3. 無窮小與求積 4. 動態窮盡法 5. 微分學的醞釀 6. 微積分學的誕生 7. 微積分學的成長與成熟

增訂版序

這次再版，除了將原文的錯誤之處改正過來外，特別從科學月刊的「益智益囊集」專欄中選出四篇與微積分有關係的文章做為本書的附錄。

在古時能求得球體的體積是被視為了不起的成就。它的求法和積分學的發展有密切的關係，附錄一〈優雅美麗的球體〉所談的就是祖沖之與阿基米德在這方面的成就。

無窮是微積分最需要澄清的觀念，為了它微積分發展了計算的技巧。事實上，數學只用數學的方法解釋無窮，而時空中的無窮則是千百年來哲學家、科學家談論不休的焦點。附錄二〈Achillies 的腳跟〉提供這方面談論的一些資料。

微積分的基礎在於實數系統的建構；人類認識實數有一段漫長而曲折的歷史，附錄三〈無法理解的數〉及附錄四〈實在而具體的數〉是這方面的參考資料。

曹亮吉於台大數學系73年11月

要學好一門學科，總希望弄清楚它的來龍去脈。微積分是人類文化史上的一大成就。其歷史更是每個現代人該具有的基本常識。可惜一般微積分課本言不及此，或浮光掠影而不能深入。專論微積分歷史的書本又往往深入而不淺出。使讀者迷失於細節發展而昧於主流變化。

這本小冊子適合大一學生之所需，可做為學習微積分的前瞻與回顧，希望借此而對微積分有更深刻的認識。為此，我們只以解析幾何的知識為本，鳥瞰微積分歷史。並附以習題。以收深淺適宜，反覆咀嚼之效。

曹亮吉於台大數學系69年夏天

1. C. Boyer,《The history of the calculus and its conceptual development》, Dover.
2. A. Rosenthal,《The history of calculus》，Monthly 58, 1951. （楊維哲、蔡聰明編著的《普通數學教程》，文仁事業有限公司，附有其中譯文。）
3. M. Kline,《Mathematical thought from ancient to modern times》，凡異出版社或九章出版社。
4. 黃武雄等校訂〈人怎樣求得面積〉，人間文化事業公司或《數學傳播》二卷二期，14∼26。

近幾世紀以來，科學技術非常發達，究其原因，數學要居首功。舉凡物理、天文、化學、工程、地質、生物等等，甚至社會科學所產生的許多問題，往往要依靠數學工具來解決，而數學工具之中尤以微積分學最為犀利、最具功效。

微積分是微分和積分的合稱。微分是用來研究變化率，而積分是用來求積的（即算曲線長、面積、體積）。但就像乘法和除法一樣，微分和積分兩者之間卻有互為反運算的密切關係，所以必須合起來一起研究，因而合稱為微積分。

本文的主要目的是想從歷史的眼光來探討微分、積分觀念的由來，技巧的演進，微、積分的合流，微積分的用途，其發展中所遭遇到的困難及解決的途徑。

歷史上，積分的觀念比微分的要發展得早，所以我們先從積分談起。