談補間法 (第 3 頁)

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談補間法（第 3 頁）

王九逵

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．原載於科學月刊第十七卷第十一期
．作者當時任教於中央數學系
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柏格朗日 (Lagrange) 的補間公式

拉格朗日研究差商時，得到了一個表示 $f_{0,1,\cdots,n-1}(x_0)$ 的漂亮的公式，因而把牛頓的商差補間公式改進了不少，他的觀察是這樣的：由定義

$\begin{eqnarray*} f_0(x_1) &=& \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1-x_0} \\ &=& f(x_0) \frac{1}{x_0 - x_1} + f(x_1) \frac{1}{x_1 - x_0} \end{eqnarray*}$

從而

$\begin{eqnarray*} && f_{0,1}(x_2) \\ &=& f_0(x_2) \frac{1}{x_2-x_1} + f_0(x_1) ... ...x_1-x_0)(x_1 - x_2)} + f(x_2) \frac{1}{(x_2-x_0)(x_2 - x_1)} \\ \end{eqnarray*}$

看到了這樣的結果以後，我們更猜想到一般公式該呈下形：

$\begin{displaymath} (**) \qquad f_{0,1,\cdots,n-1}(x_n) = \sum^{n}_{i=0} f(x_i) \frac{1}{\prod_{j \neq i} (x_i-x_j)} \end{displaymath}$

其實確是如此，我們可以用數學歸納法證明這個結果。從上文我們看出這公式當 n=0 或 1 時是對的，假設這公式當 n-1 時成立，那麼 $f_{0,1,\cdots, n-1}(x_n)$ = $f_{0,1,\cdots, n-2,n}$ (x_n-1) $\frac{1}{x_{n-1} -x_n}$ + $f_{0,1,\cdots, n-2}(x_n)$ $\frac{1}{x_n - x_{n-1}}$ ，應用數學歸納法的假定，我們把 $f_{0,1,\cdots,n-2,n}(x_{n-1})$ 和 $f_{0,1,\cdots, n-2}(x_n)$ 展開，再分別用 $\frac{1}{x_{n-1} -x_n}$ 和 $\frac{1}{x_n - x_{n-1}}$ 乘展開式，便得到兩式子，我們分別用 A 和 B 表示，A 的最末項是

$\begin{eqnarray*} &&f(x_{n-1}) \frac{1}{ \prod_{j < n-1} (x_{n-1} - x_j)} \cdot ... ... \\ &=& f(x_{n-1})\frac{1}{ \prod_{j \neq n-1} (x_{n-1} - x_j)} \end{eqnarray*}$

B的最末項是

$\begin{eqnarray*} &&f(x_n) \frac{1}{ \prod_{j < n-1} (x_n - x_j)} \cdot \frac{1}... ...- x_{n-1}} \\ &=& f(x_n)\frac{1}{ \prod_{j \neq n} (x_n - x_j)} \end{eqnarray*}$

而 A 中其餘各項與 B 中的對應項的和是

$\begin{eqnarray*} &&f(x_i) \frac{1}{ \prod_{j\neq i} (x_i - x_j)} ( \frac{x_i-x_... ...prod_{j \neq i} (x_i - x_j)} \qquad \qquad \qquad (i \neq n-1,n) \end{eqnarray*}$

將各項合併起來，我們便得到了公式(**)。

我們推出牛頓補間公式的法子是把牛頓定理施用到公式(*)上去，我們現在卻想把牛頓定理施用到公式(**)上去，設 t(x) 為一個不超過 n 次的多項式，x₀, x₁,…,x_n, $\bar{x}$ 為 n+2 個相異的點，由牛頓定理知

$\begin{displaymath} t_{0,1,\cdots,n}(\bar{x}) =0 \end{displaymath}$

從 (**) ，這式子表示

$\begin{displaymath} \frac{t(\bar{x})}{(\bar{x} - x_0)(\bar{x} - x_1) \cdots (\ba... ...x_i) \frac{1}{ \prod_{j \neq i} (x_i- x_j)(x_i - \bar{x})} = 0 \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath} t(\bar{x}) = \sum^{n}_{i=0} t(x_i) \frac{\prod_{j \neq i} (\bar{x} - x_j)}{ \prod_{j \neq i} (x_i- x_j)} \end{displaymath}$

這公式便是拉格朗日的補間公式。

這公式容易直接驗證，在純數學及應用數學上，這公式都有很大的用處。

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編輯：康明軒

最後修改日期：2/17/2002