摘麥穗問題 （註釋）

楊照崑

 
註釋

...1
在麥穗問題中，我們應知道小女孩可以走多長的麥田、或大約的麥穗數目。
...2
$P_N(s)=\sum ^N_{k=s}p_r$[在k次拿到最大號球].

\begin{eqnarray*} &&p_r[\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char ... ...\selectfont \char 113}}]\\ &=& \frac{1}{N} \cdot\frac{s-1}{k-1} \end{eqnarray*}


右式中兩事件顯為獨立，故可變為相乘。故

\begin{displaymath} p_N(s)=\frac{1}{N}\sum^N_{k=s}\frac{s-1}{k-1} \end{displaymath}

...3
因

\begin{displaymath} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \cdots +\frac{1}{k} \appro... ...{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}} +\log k \end{displaymath}

故

\begin{displaymath} P_N(s) \approx \frac{s-1}{N} \log\frac{N-1}{s-1} \approx \frac{s}{N}\log\frac{N}{s} \end{displaymath}

對 s 微分，求得 PN(s) 在 $s^*=\frac{N}{e}$ 時極大，極大值為 $\frac{1}{e}$。
...4
滿足1，2兩式的x*，y*，亦即一般

\begin{displaymath} \min_y \max_x p(x,y)=\max_x\min_y p(x,y)=p(x^*,y^*) \end{displaymath}

之解。這兩條件equivalent。
...5
因為王子無論用什麼方法si去猜，都只有$\frac{1}{4}$的機會猜到。因而無論怎樣用或然率分配si， 仍只有$\frac{1}{4}$的機會猜到。
   


最後修改時間: 4/29/2002