.原載於科學月刊第二卷第八期 .作者當時任教於台大數學系 | |||
兔子、鳳梨、向日葵、帕德能廟、正十邊形、鸚鵡螺
曹亮吉 |
這是什麼怪題目?怎麼會擺在數學趣味這一欄?恐怕放錯了地方吧!沒錯,絕對沒錯!且聽我慢慢道來。 十三世紀的意大利數學家費伯納西(Fibonacci)寫了一本書叫做《Liber abacci》那是商用的算術和代數手冊。在這本書裏,他提出了這麼一個有趣的問題:假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子,其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對大兔子和它們剛生下來的一對小兔子,請問一年以後籠子裏應該有幾對兔子? 讓我們慢慢地算一下。一月底,大兔子又生了一對小兔子,但是第二代的那對小兔子還沒成熟,還不能生小兔子,所以總共有三對。 二月底,第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子,連同一月底所有的三對,現在一共有五對了。三月底,在一月底已經有的三對兔子各生一對小兔了,連同二月底所有的五對兔子,現在一共有八對了。 依此類推,每個月底所有的兔子對數應該等於前一個月底所有的兔子對數(也就是原有的兔子對數)加上前兩個月底所有的兔子對數(這些兔子各生了一對小兔子)。所以每個月底的兔子對數應該是3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、…,每一項都是前兩項之和。現在假定十四代同堂,那麼一年後籠子裡應該有610對兔子了。 費氏本人對這個數列並沒有再做進一步的探討。直到十九世紀初才有人詳加研究,其後各方面的文章就像費氏的兔子一樣迅速地增加,而 1、1、2、3、5、8、13、21…這個數列就被叫做費氏數列(最初的兩項代表最開始的一對大兔子和一對小兔子)。現在讓我們看看費氏數列到底和向日葵、帕德能廟、正十邊形、鸚鵡螺等等有些什麼關係:
為方便起見,我們用 Fn( ![]() 這不是很奇怪嗎?新數列好像趨近某個定值 ![]() ![]() ![]() 由 ![]() ![]() ![]() ![]() 雅典的帕德能廟 (Parthenon at Athens) 莊嚴、宏偉、給人以美的感覺,被認為是古希臘最偉大的建築之一。為什麼它會顯得那麼和諧。有人說它的寬度和高度正合於黃金律。
什麼是黃金律?那就得先從黃金分割談起。如圖一,假如
![]() 這個比值不就是前面所求的φ嗎?正是,一點不錯,我們叫它做黃金比值(Golden Ratio)。報紙、書本度和寬度之比往往接近這個比值,大概是因為在這個比例之下,它們看起來很順眼,很和諧吧!建築和繪畫方面也常利用這個比值來引起美的感覺,這就叫做黃金律。
歷史上,正多邊形的作圖很引起人們的興趣,同時在數學上也佔看相當重要的地位。我們來談談正十邊形的作圖吧!
如圖二,假定O點是正十邊形的心,那麼OAB是個等腰三角形,它的頂角
但是怎麼樣把一線段AB黃金分割呢?(圖三),引直線BD垂直於AB,令
長和寬之比為 φ 的長方形叫做黃金長方形。這種長方形有許多奇怪的性質。假如我們從黃金長方形 ABCD 的一端把小正方形 ABEF 去掉(圖四),剩下的 CDEF 還是一個黃金長方形。用同樣的方法,可別逐漸步去掉許多正方形而得到愈來愈小的黃金長方形,而黃金分割點 F,H,I,J,K,L, … 都排在一個等角螺線上,螺線的心正好是兩虛線 AC 和 DE 的交點。所謂等角螺線(圖五)就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線。鸚鵡螺的外殼、象鼻、羊角、鸚鵡的爪子等等都是成等角螺線形的。
仔細觀察雛菊花蕊的排列,你會發現它們也是成等角螺線形。這種排列可以有兩種看法:左旋的和右旋的。大部份雛菊的左旋數和右旋數是21和34,正是費氏數列的相鄰兩項。松果、鳳梨的鱗片也有類似的排列,而排列數各為 5 和 8 以及 8 和13,也是費氏數列的相鄰兩項。向日葵也是一樣(圖六),通常左旋數和右旋數各為34和55,更大的向日葵則有89和144,甚至144和233的排列數,都是費氏數列中相鄰的兩項。
1960年左右,許多數學家對費氏數列和有關的現象非常感到興趣,不但成立了費氏學會,在1963年居然還創辦了《費氏季刊》,做為會員發表觀察結果和個人心得的園地,是一份相當學術性的刊物。有人說未爾吉 (Vergil) 和那時候的許多羅馬詩人經常在他們的作品裏應用費氏數列;甚至鋼琴的琴鍵在一個八度音之間有黑鍵五個,白鍵八個!費氏數列到處可見。 費氏數列相鄰兩項的比值趨近於黃金比律,由黃金長方形又可描出等角螺線,等角螺線又出現在松果、鳳梨、雛菊、向日葵等,而它們的左右螺旋數又恰好是費氏數列相鄰的兩項,自然之造物令人嘆為觀止! 現在提出一些問題來讓讀者花點腦筋想一想。
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編輯:李渭天 ∕ 繪圖:張琇惠 | 最後修改日期:2/17/2002 |