阿林談微積分 (第 2 頁)

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阿林談微積分（第 2 頁）

曹亮吉

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．原載於科學月刊第一卷第四、六、七期，分三期刊出
．作者當時任教於台大數學系
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中篇

又是個郊遊的好天氣。山坡幾叢野花把綠色草坪點綴得更熱鬧，遠遠望去，向陽的青山鮮明地凸在淺藍的天際，兩三朵白雲悠閒地飄浮著。

坐在車窗位置的小明貪看得出神，小華卻又嘰嘰呱呱的：「這條路好多了，車子開得又快又平穩，不像上次前仰後 $\cdots\cdots$ 唉唷!」猛然來個緊急剎車，把他還沒講完的話一併剎住了。

一直到了目的地下車，小華還在嘀咕：「 $\cdots\cdots$ 開那麼快，也不注意一下，這實在太危險了 $\cdots\cdots$ 」

「開得快就危險嗎？那你下次乾脆坐牛車算了。」小明不耐煩了。

「速度快當然危險。」

「速度快就危險嗎？」阿林忽然開口了，「譬如你在房間慢慢走，是不是就安全？」

「當然?!」

「但假若你是在特快車的車廂裏慢慢走呢？」

「那就危險了。」

「為什麼呢?你不是同樣地慢慢走嗎?」

「因為人在火車裏,火車動得快。」

「在動得快的東西裏就危險嗎?」阿林頓了一下，「你知不知道地球在動-就是說在自轉?」

兩人都點點頭。

「房間是連在地球上的，就好比車廂是連在火車上。地球轉得那麼快，那麼人在房間裏慢慢走豈不是更危險嗎?」

「?」

「可見速度快不一定就危險。噴射機比火車還快，但卻很安穩。」

「但是一出事就危險了。」

「對啦!關鍵就在於『出事』。」阿林正要滔滔不絕的講下去，忽然看到一隻蝴蝶飛過去,順著眼光, 一群學生正在不遠的一塊草地上玩團體遊戲。「噯！回去再談罷。這麼好的景色 $\cdots\cdots$ 。」

當天晚上，阿林對著兩張充滿問號的臉孔：「 $\cdots\cdots$ 問題在於『變化』兩個字。速度快並不危險，危險出在速度驟然變化，好比飛機撞山，瞬時間由高速停下來，那就危險了。今天上午緊急剎車便是如此。地球雖在轉動,速度很快,可是 $\cdots\cdots$ 」

忽然有個問題閃進小明腦海:「地球轉這麼快，我們怎麼不知道呢? 這末說來快慢並沒有一定標準?」

「問得很好!我們必需先了解速度是怎麼回事。讓我們從頭想起，什麼叫速度?」

「速度就是單位時間的位移。」小華背起教科學。

「什麼叫單位時間?什麼叫位移?」

小華呆住了。

「不要緊張。現在不是在考試,不用背那些生硬的專有名詞, 重要的是要了解觀念或真正意義。讓我們先看看,一提起速度, 你會聯想到什麼?」

「有東西在動。」

「對啦!這就是重點所在。東西要動，才有速度。事實上，速度就是量『動』的大小與方向。那麼，什麼叫做『動』呢?」

「動就是動啊!」小華茫然不解地應著。

「哈!你一定沒搞清楚我在問什麼 $\cdots\cdots$ 」

「動就是在動嘛。這樣簡單的東西有什麼好問的?」小華脹紅了臉爭辯。

「這正是我們平日對熟悉事情習焉不察的毛病。事實上，『動』的觀念，是由三個更基本的觀念組成的。如果只是模模糊糊知道什麼是『動』，並且很滿足地認為太粗淺，不值得細思，就不可能想到這三個更基本的觀念。」

「是那三個?」

「這三個是『空間』(或位置)、『時間』及『變化』。東西在動，表示它在『空間』上的位置隨『時間』而『變化』。空間和時間的研究，是物理學家的事，我們不去管它。我們只需知道，在討論變化時，位置是相對於那個空間系統-比如說，是相對於火車?相對於地球表面?相對於太陽?等等，就是說我們要先選一個參考系統。」

「哦!我知道了。剛才的毛病是出在參考系統的問題上。」小明豁然開通了。

「正是如此。現在我們已選定了一個參考系統，我們就可研究位置因時間變化的情形。」

「為什麼專討論因時間而變化的情形?」

「問得很好。事實上，我們只要研究變化，至於因什麼而變化，那是無關緊要。只因我們是在討論速度，所以說是因時間而變化。」

「因此，我們要研究的只是某個量因另個量而變化的情形。一個量f因另個量 x而變化，便是所謂函數f(x)。於是，在研究『速度』中，我們把一些實在的物理觀念,如空間位置，時間一併除去，而改用較抽象的函數、自變數來代替,速度的研究便轉為函數的研究。這種抽象化的方式,是數學的精神所在。抽象化過的東西、雖較不直覺，但卻具有更廣泛的應用。

「閒話少說，我們就來研究函數的變化吧。為便於研究，最好還是把它畫出一個圖形-函數圖形來。你知道怎麼畫嗎?」

「把x當作橫軸，f(x)當作縱軸、垂直相交，就像解析幾何中的卡氏座標。」小華搶著回答。

「一點不錯，正是解析幾何中的座標。事實上，微積分和解析幾何的關係異常密切。在歷史上，也是笛卡爾發明了解析幾何，使函數可用曲線來表示，才有微分學及微積分的發展。

「現在讓我們從變化來看看各種函數圖形。最簡單的情形就是不變化,即函數的值固定-這等於空間的位置不變，就是說不動。因此變化量，或速度便等於0。畫出圖形如下：

圖一

「次簡單是變化率固定。如果它是增大，便一直用相同的比率增大。在實例中，這便相當於等速度。倘若變化率是k(速度大小是v)，自變數從0增為x(等於過了t時間)，函數值便增加kx(等於移了vt的距離)。如果開始(x=0時)函數值為b,則函數可寫成:

f(x)=kx+b

圖二

「看到了嗎?這也是條直線。在解析幾何中，k是這條直線的什麼呢?」

「斜率。」兩人爭著回答。

「不錯。在解析幾何中，斜率是怎麼求呢?」

「這就等於k啊!」小明奇怪了。

「k等於 $\tan\theta$ 。」小華說。

「我問的是更原始的求法。」

「哦!我知道了。它是等於高和底之比。」小華在圖上畫了兩個線段，標明x和 y:

圖三

「斜率k便是 $k=\frac{y}{x}$ 。」

「這正是我們要的。如果回到速度例子，這便等於在x時間內移了y的位置。但在這裏，我們用不著從f(x)和x-軸的交點算起。我們只需任意取兩點，如x₀和x₁，相對的便有f(x₀)和 f(x₁)，兩個長度相減，顯然得到相同結果：

圖四

「好了。接著我們可以研究更複雜函數的變化。譬如，函數是下列形狀:

圖五

我們要如何討論它的變化情形呢?顯然，它的變化率是不一致的(如果一致，那就是直線了)。在直線,變化率等於直線的斜率，在曲線,有沒有斜率這個觀念呢?」

小明小華互望了一眼，又轉回看阿林。

「我們可以從前面最後一個式子著手。我們照樣找兩點 x₀ 和 x₁，那麼：

$\begin{displaymath}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\end{displaymath}$

圖六

便是過這兩點直線的斜率，從圖形可知，這條直線(叫割線)和曲線本身很接近。我們又知道，曲線變化率各點並不一致，只能先拿一點x₀來研究。因此我們把 x₀固定，把x₁變動。顯然，x₁愈靠近x₀，割線的斜率便愈接近曲線在 x₀的變化率。

「打個比喻:在速度的情形，要求出在一點的速度，該怎麼算呢?速度是移動距離除以所需時間。如果這時間取得很久，算出的平均速度就會和那點的真正速度相差很多。時間愈短，平均速度愈靠近在那點的真正速度。當時間趨近於零時，這些平均速度的極限，便是那點的真正速度-叫瞬時速度。

「因此我們可把曲線在x₀的變化率定義作:

$\begin{displaymath} f'(x_0) = \lim_{\triangle x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x} \end{displaymath}$

$\triangle x$ 便是x₀和x₁的差。 $\lim{\triangle x \rightarrow 0}$ 代表這差別趨近於零這就是說:我們依次取x₁,x₂,x₃, $\cdots\cdots$ 等等，愈來愈靠近x₀(即 $\triangle x$ 愈來愈小)。對每一個x和x₀可畫出一條割線，割線有斜率。當 $\triangle x$ 愈來愈小,終於趨近於0，這斜率便是函數在x₀的變化率。同時你可看出，這些割線的極限位置便是曲線在x₀的切線。因此，函數在x₀的變化率，便等於曲線在x₀切線的斜率。

圖七

「這一步驟叫求微分。我們便看到，求微分等於求函數曲線的切線。」

「有問題。」小華忽然張直了喉嚨:「你說讓 $\triangle x$ 趨近於零。但零是不能當除數的呀!」

「這是個關鍵的問題，」阿林以嘉許的口吻:「我只說 $\triangle x$ 趨近於零，但並沒說它等於零。」

「趨近於零和等於零不是差不多嗎?」小華毫不放鬆。

「當然不一樣。趨近於零的意義，是說我們先算出整個分數值:

$\begin{displaymath} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x} \end{displaymath}$

再求極限。對不同的 $\triangle x$ ，我們依次算出各個分數值。 $\triangle x$ 雖愈來愈小，但分子 $f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$ 也可能愈來愈小，整個分數值便可能都是有限值;而且當 $\triangle x$ 趨近於零時,這些分數值便可能趨近於某一定值，這一個定值便是這些分數值串的極限，就是函數在x₀的變化率了。

「但如果 $\triangle x=0$ ，分子 f(x₀+0)-f(x₀)=0，變成 $\frac{0}{0}$ 是沒有意義的符號。這末一來，這數串便會變得沒有意義。所以 $\triangle x$ 決不能讓它等於 0。趨近於零雖和等於零看來相差無幾，卻是『差之毫厘，失之千里』的啊!」

「我明白了。」小華點點頭，但緊接著又問:「你剛才為什麼說:『可能』都是有限值，『可能』趨近於零。為什麼這麼模稜兩可?難道有例外嗎?」

「你很仔細，」阿林讚道:「事實正是如此。它們不一定會趨近於某個定值; 可能變為無窮大，可能根本就不趨近某個定值。從圖形看來，這相當於一個函數曲線不一定有切線。最簡單的，如:

圖八

由兩個半直線構成。在x₀右邊那一段，有一個斜率;在左邊也有另一個不同的。因此在x₀那點，用以前的公式，把x₁取大於x₀得一個值，小於x₀得另一個值此兩值完全不同，顯然不會同趨近於一個定值了。

「又如函數根本在x₀是不連續的，如:

圖九

你看，當x₁很靠近x₀時， $\triangle x$ 便趨近於零;但f(x₁)-f(x₀)卻一定大於一個固定值a，於是分數值便會變得很大很大，不會趨近於某個有限定值了。

「所以函數不一定每一點都可求出變化率-用術語來說，它不一定可微分。事實上，要可微分的限制相當大;首先，這個函數一定要連續。即使連續，還不一定就可微分。剛才舉的那個折線例子便是連續的。事實上，我們可找出一個到處是連續，但卻無處可微分的函數。」

「我整個都不很清楚。能不能舉個實例算算?」小明問。

「好的，譬如我們來求f(x)=x²在x₀的變化率。用前面的公式:

$\begin{displaymath} f'(x_0) = \lim_{\triangle x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x} \end{displaymath}$

令

$\begin{eqnarray*} f(x_0+\triangle x) &=& (x_0+\triangle x)^2 \\ &=& x_0^2+2\cdot\triangle x \cdot x_0+(\triangle x)^2\\ f(x_0) &=& x_0^2\\ \end{eqnarray*}$

所以 $f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$ $=2(\triangle x)\cdot x_0+(\triangle x)^2$ 我們一定要先求出分數值，再求極限。所以先用 $\triangle x$ 除上式，得

$\begin{displaymath} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}=2x_0+(\triangle x) \end{displaymath}$

這時令 $\triangle x$ 趨近於零。所謂趨近於零，就是非常靠近零，它和零的差別可小於任何固定的正數。既然如此，我們可把它略過不計。因此x²在x₀的變化率是2 x₀。

「在這個例子中,我們可看出 $\triangle x \rightarrow 0$ 也有實際功用。同法你可算出x³為3x₀²，x⁴為 4x₀³ $\cdots\cdots$ 等。一般而言，xⁿ在x₀的變化率為n x₀^n-1。微分通常是個工具，而且是最有用的數學工具。一些基本運算必需熟練。」

「它有些什麼用途呢?」

「哦!那是說不完的。我們從它的根本意義或基本的性質來說明它幾個主要的應用。

「首先是它很容易算，譬如我們一看到xⁿ，那麼它在x₀的變化率便是 n x₀^n-1了。求變化率，又有很多美麗的性質，例如f(x)和g(x)都是可微分的，在x₀的變化率分別為f'(x₀)及 g'(x₀)，則 (f+g)(x) 這個加起來的函數也必是可微分，其在x₀的變化率為 f'(x₀)+g'(x₀):

(f+g)'(x₀)=f'(x₀)+g'(x₀)

又把f(x)乘上個常數a倍:a f(x)，一樣可微分，變化率剛好是 a f'(x₀)。」

「這很顯然嘛。有什麼用呢?」

「如果你的『顯然』是說它很容易從變化率的定義證明出來，那還差不多; 但如果你以為所有運算根本就應有這個性質，那就不見得了。滿足這兩個性質的運算就叫線性運算。微分是線性運算，積分也是線性運算。你說線性是很顯然的，那你會證明積分是線性運算嗎?」

看看沒有答腔，阿林又繼續:「其實它還是很容易證的。你有空自己試試看吧。線性運算用途大得很，例如求3x⁵-2x的變化率，我們便可看成3x⁵及-2x 二個函數之和而分別求之;3x⁵又是3乘上x⁵，x⁵我們已會求,3x⁵便得出了。同法-2x也知道。這樣，用線性我們可求出所有多項式函數的變化率。

「微分另有許多好的性質，這裏不詳舉了。這些性質使微分變得很容易運算。因為它很容易運算，才會有極廣泛的用途。」

「舉個對比的例子，就可知道「容易運算」的重要。前次我們提過，積分也會有很多用途。但在微分和積分間的關係被發現以前，積分應用並不廣，雖然早在西元前它已被發明，但一千多年來它幾乎沒什麼進展。主要關鍵就在於它太不容易計算。一直到牛頓、萊布尼茲發現它和微分之間的關係，用它來找出些積分的方法，積分才突然廣泛被應用。」

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編輯：洪瑛 ∕ 校對：黃信元 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：3/19/2002