林孝信

從聲和光的探討談起 傅氏照妖鏡: 如何描述現象呢 ? 現象的對稱與週期性 無窮的麻煩 冪級數可用來研究函數的局部性質 傅氏級數 傅氏分析 傅氏積分 怎麼辦呢? 對偶性 對稱空間的限制與海森堡不確定原理 重回聲光世界

傅氏分析不僅是現代數學中最美麗的成果之一，而且在討論現代物理的問題時，它又提供了不可或缺的工具
-William Thomson and P. G. Tait。

從聲和光的探討談起

連日的陰悶煩雜，如果偶而抬頭遠眺，一彎七彩霓虹正浮在迷茫的天邊，該是多開心的事，整天融在喧囂吵鬧的市聲中，一曲柔和的琴聲，真是爽心怡情的享受，美的追求，原是人的本性。

呈現在我們眼簾的是五光十色，傳入我們耳朵的有千音百噪。然而，何以有些使我們心曠神怡，有些則煩躁欲嘔?

這不是個容易回答的問題。美感本屬半神祕的領域。但我們仍可找出些客觀的參考標準。雖然美感是種心理現象。但它一定經過視覺神經或聽覺神經接觸到光或聲才產生。這些光，這些聲，倒是實實在在的東西。把這些實實在在的東西拿來仔細研究，你會發現，那些較悅目順耳的部份，當真有些共同的特徵-比較規則(或對稱)。

問題是:聲和光雖是實實在在的東西，但也是頗難捉摸的玩意，例如你眼前的《科學月刊》就是很實在的東西，因為你可以看得到，摸得看，翻書有聲，字字有形;但我們要如何解說「看」到的「光」(光的本身)或「聽」到的「聲」(聲的本身)呢?而且，顯然地，我們決摸不到「光」或「聲」。既然如此，我們如何說它是實在的東西?又怎能進一步去研究它呢?

還有，我們說「比較規則」(或比較對稱)是指什麼而言?聲和光既是捉摸不到的東西，那該如何來表示這些「特徵」呢?

「聲」和「光」的研究，是屬於物理學的範圍。但貫穿這些研究，有一項非常有力的數學工具-傅氏分析法(Fourier Analysis)，是本文所要介紹的。傅氏分析法用途非常廣泛:凡是有週期對稱的現象，對偶互補的情形，都非借重它不可。在數學上，它牽涉的範圈也很廣，所有線性的玩意(在代數上線性是一次方程式之類的)，都與之有關，如向量空間(或線性代數)，線性微分方程，泛函分析等等。