丘成桐
記錄：林信安（師大數研所一年級）

今天我要講講幾何的發展，當然這其中有些是我個人的觀點，不一定每個人會同意。 談到幾何的對象與方法可分為動態與靜態兩方面，靜態就是幾何圖形， 動態是指幾何圖形經過運動而成為另一個幾何圖形的過程，目前尚未了解很多。

幾何的研究與自然現象是很貼近的，亦與基本物理、工程有著密切的關係，自然界的現象可分為抽象美的幾何、基本物理、工程，幾何就是從這三方面推導出來的，而幾何的研究也會影響這三方面的研究，總而言之，這三方面對幾何的影響是互相的。從前埃及時代主要研究平面、立體幾何，這當然是因為有工程上的需要，順著科學的發展，到了牛頓力學發展後，平面幾何已不夠去描述運動現象，於是有微積分的產生，有了微積分，就可以討論曲線、曲面；另一方面，Euler、Lagrange 為了應用積分到流體，因而有了變分法的發展。18世紀變分法引進幾何， 是幾何上重大的發展，這影響到了後來微分幾何的研究。

18世紀微分幾何的問題是集中在研究曲線（直線與平面的關係），另一方面也開始研究一個嵌入 R³ 的曲面 ，這是從 Gauss 開始的，Gauss 對微分幾何主要的貢獻是研究 Gauss 曲率與內在幾何間的關係。內在性是指只與度量有關而與曲面在空間中寫法無關，例如一張紙曲率 K=0，將其捲起來，intrinsic geometry，不變曲率 K=0，但 extrinsic geometry 有變化，而 Gauss 就是證明了 Gauss 曲率為 intrinsic geometry 的不變量。另一方面 Complex Analysis 的引進，對微分幾何的研究有很深的影響，Complex Analysis 的引進，對微分幾何的研究有很大的影響，Complex Analysis 是為了研究流體力學，而發展出來的；Lobatchevsky 研究曲率 K= -1 的雙曲空間，這個研究與平行公理有很大的關係，這是幾何發展的重要里程碑。

19世紀 G.B. 黎曼繼承 Gauss 的思想，將 2 維的曲面之研究，推廣到高維空間上，而形成了黎曼空間，這個空間形成之後，為幾何的研究開啟了新的一頁。

(M₁,d₁)(M₂,d₂) 何時可以將他們看成同一空間，即何時可找到 使距離沒有變化，i.e. ，例如將捲起來的紙攤平

這是幾何上一個很重要的問題，是唯一性的問題。一般而言，曲率 K 是一個重要的 invariant。例如，一張平坦的紙 K=0 無論如何不能"相等"於球面 K=1，後來又引進了連絡 (connection)，這是微分的推廣，主要是 Christoffel，Ricci，Levi-Civita 等人的貢獻， 它們不是在平坦的空間中研究微分的問題，發現一般平坦的空間 ， ， 但是在不平坦的曲面上 與曲面的曲率有關。

19世紀末期，Flex Klein 認為大部分的微分幾何可用李群（或離散群）去解釋，很多幾何對象可看成 homogeneous space，當初很多人認為很多微分幾何的現象不能看成變換群，到了 E. Cartan 對李群的分類有很大的影響，他引進了活動標架法，20世紀初期，Cartan、Flex Klein 對幾何的看法與 Gauss、黎曼的幾何方法結合，才得出一種新的方法-活動標架法。 Poincaré 考慮變分法在微分幾何上的應用，他是考慮測地線 (geodesic)的問題：在 R³ 上的封閉曲面上， 找一條封閉的測地線，例如

在球上的大圓

Morse 則將此問題考慮到高維度上，如何去找封閉測地線，有關測地線的問題尚有，在二維的封閉曲面上至少有3條不相交的封閉測地線，這是很有名的問題，直到最近才有較詳細的證明。 Morse 理論在微分幾何，工程上有很大的貢獻，開始了微分幾何上大範圍的幾何研究。測地線的問題在高維度上的推廣是最小曲面 (minimal surface) 的問題，最初是 Weierstrass 引進 Complex Analysis 的方法，這是 Complex Analysis 影響微分幾何的一個例子。

從測地線，最小曲面的研究，微分方程開始對微分幾何的研究產生影響，近十年來，這方面的 發展尤其神速，但對非線性拋物型偏微分方程我們尚不明瞭，因此對於動態的幾何並不清楚。例如 Rauch 考慮固定兩點的測地線，研究不是最短距離的測物線，而考慮index理論經過擾動 (Perturbation) 後的情形，而 index 理論是由 O.D.E 中的 Sturm-Liouville 來的，Rauch 發現曲率與拓樸性間有密切的關係，這是從 Morse 理論得到的。

在大域幾何方面，Gauss-Bonnet 定理 ，（其中 M 為定向二維緊緻曲面）是一個代表，陳省身先生將這個公式推廣到高維度的情形。陳省身也引進了 Chern class 討論曲率與拓樸性之間的關聯，而 Rauch 則是討論距離、曲率、拓樸性三者之間的關係。

基本上而言，微分幾何是一門在物理，工程等各方面都是應用極廣的學問，當然也是這些方面上的重要工具。謝謝！