Laplacian 算子對應譜的最近發展

　1│2　

首頁 | 搜尋

．丘成桐先生80年11月4日於中正大學應數所之演講，原載於數學傳播第十五卷第四期

Laplacian 算子對應譜的最近發展
丘成桐先生演講

丘成桐
紀錄：賴玲淑;劉榮彰

(一) Wave mechanical approach
(二) elliptic 問題：即 Heat equation method

此篇文章主要是探討譜與區域的對應關係。首先介紹何謂 Laplacian 算子，所謂 Laplacian 算子在一維空間是定義為 $\frac{d^2}{dt^2}$ ，而在二維空間則定義為 $\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ 記做

$\begin{displaymath} \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \; . \end{displaymath}$

一開始，先看簡單的一維空間，通常在一維的 Laplacian 算子的譜的問題可由弦振動來解釋之，固定兩端點不動的均勻弦（密度 $\rho=1$ ）。存在一組數列 $\{\lambda_i\}$ ，

$\begin{displaymath} 0 \leq \lambda_1 \leq \lambda_2 <\cdots\cdots< \lambda_n < \cdots\cdots \rightarrow \infty \end{displaymath}$

而由此

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \frac{d^2 u_i}{dt^2}+ \lambda_{i} u_i =0 \\ & u_{i}(1)=u_{i}(0)=0 \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

方程式，每任意特徵值 $\lambda_{i}$ 可對應一個特徵函數（基本波）u_i，再將 u_i 正規化，即 $\int_{0}^{1} u_{i}^{2}=1$ , $\forall i$ 。則對任意在[0, 1] 之間的函數（波）u，可用此基本波 u_i 表示之。亦即

$\begin{displaymath} u=\sum_{i=1}^{\infty}a_i u_i,\hspace{10pt} u(0)=u(1)=0 \end{displaymath}$

若此弦的密度 ρ 不均勻，那上述的方程要修正為

$\begin{displaymath} \frac{d^{2}u_{i}}{dt^{2}}+\lambda_{i} \rho u_{i} =0 \end{displaymath}$

而在研究一維弦振動中有一重要性質，就是 Sturm-Liouville 性質：

$\begin{displaymath} \char93 \{x \in (0, 1);u_i (x)=0\}=n-1, \quad \mbox{{\font... ...ries{m}\selectfont \char 231}}\; u_i(0)=u_i(1)=0, \; \forall i \end{displaymath}$

圖一

但此性質在二維空間以上就不存在了，所以在研究二維空間的問題比較困難，跟一維空間不同。

綜合上述，給定弦本身的密度 ρ，可以決定一組譜 $\{\lambda_i\}$ , $i=1,2,\cdots\cdots$ （其實 $\sqrt{\lambda_i}$ 就是頻率）。反過來說，就是著名的 inverse 問題，即若給定 $\{\lambda_i\}$ ，如何決定密度 ρ；相對的在二維空間也有 inverse 問題，即 Kac.Bochner 所提的問題

How to hear the shape of a drum?

那就是說，鼓可視為一個二維的有界區域 (domain)，所謂鼓的形狀，就是相對於區域的幾何性質，這個問題就是怎麼樣從打鼓的音調聽出鼓的形狀。同樣的問題在一維空間的問題比較簡單，因為整個 potential 可以寫下來，二維空間以上就比較麻煩，我們考慮的方程式為

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \Delta u_i+\lambda_{i} u_i=0 \\ & u_i \big\vert _{\partial \Omega}=0 \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

其中 $\Omega \subset {\mathbf{CR}^2}$ ，是一個有界區域。

而 $u_i \big\vert _{\partial\Omega=0}$ 即對應於打鼓的時候，邊界不變。從此可提出許多問題，其中有個著名的問題：Ω 的幾何性與譜 $\{\lambda_i(\Omega)\} \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}\times \cdots \times \mathbf{R}$ 的對等性，其中已知 Ω 可決定譜 $\lambda_i$ ，而 $\lambda_i$ 能否決定 Ω 將是主要探討的問題，在物理上而言，即是古典力學與量子力學的對應關係，那就是說一個粒子在力場裡怎麼走，即彈來彈去的軌跡；古典力學討論其相對應的譜很小的時候，而量子力學即算子裡譜的問題，對應的譜很大的時候 $(\lambda_i \rightarrow \infty)$ ，而這只是一個特別情形，實際上，在物理學裡，一般情況都有 potenial V（位能）存在，此時， $v:\Omega\rightarrow \mathbf{R}$ ，即考慮

$\begin{displaymath}(-\Delta+V)u_i+\lambda_i u_i=0\end{displaymath}$

但此問題還未被完全瞭解，例如：

$\begin{displaymath}\Omega(M)=\{X: S^{\prime}\rightarrow M\}\end{displaymath}$

其中 M 是一個流形 (Manifold)

$\begin{eqnarray*} && E=\int_{0}^{2\pi}\parallel\frac{dx}{dt}\parallel^2dt \quad \mbox{ (energy),} \\ && E:\Omega(M)\rightarrow \mathbf{R} \end{eqnarray*}$

在此考慮 $-\Delta+\alpha E$ 這算子，亦即

$\begin{displaymath}(-\Delta+\alpha E)u_i+\lambda_i u_i=0(\mbox{{\fontfamily{cwM3... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 137}})\end{displaymath}$

而加入 $\mbox{energy}\; E$ ，才會有好的譜分射。又一般在幾何上，都把 V 設定為 0，實際上，在微分幾何中並非不討論 $V\neq 0$ 的情況，這要謹記在心。

現在進入主要的問題： $\{\lambda_i\}$ 能否決定 Ω 的幾何性，對此問題可由二種不同的方法逼近，此二方法分別為 Wave mechanical approach 和 elliptic 問題。

(一) Wave mechanical approach

基本上 wave mechanical approach 可用 kernel mechanical 來看，即考慮 $\exp [it\sqrt{-\Delta}]$ ，其中 Δ 為 Laplacian 算子，從這邊其譜對應於 $\exp [\sqrt{-1} t \sqrt{\lambda_i}]$ ，從此著手的好處是 Wave equation（波動方程）可與古典力學聯結起來，因波動方程的傳播 (propagation) 速度是有限的 (finite)，亦即在解波動方程時，如果在 t=0 時有 singularity，則在時間 t>0 時，singularity 仍存在，不會消失，這與連接算子的譜有很大關係，基本上研究的方法是考慮 kernel function（核函數）

$\begin{displaymath}W(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}e^{\sqrt{-1} t \sqrt{\lambda_i}}u_i(x)u_i(y)\end{displaymath}$

的形式，這可解出 wave equation，且滿足 $\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}-\Delta u =0$ 。但實際上， $\sum_{i=1}^{\infty}e^{\sqrt{-1} t \sqrt{\lambda_i}}u_i(x)\cdot u_i(y)$ 並不收歛，因而可發現其 singular support 與 $\lambda_i$ 有關，然後由剛才寫下來的 w(x,y) 跟用不同的方法如微分幾何或其他方程方法計算方程的 approximate kenel，而後我們發現與 geodesic flow（沿直線如何走的問題）有關，如此用這二種不同的方法得到的基本解，令它們相等，就可得到許多訊息 (information) 去探討 Ω，在物理上稱為 WKB method，同樣的方式亦可應用 ellitpic 方法，在下節將再做詳細說明。

對外搜尋關鍵字：
．Laplacian算子

　1│2　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：廖俊旻 ∕ 校對：黃怡碧 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002