四元數與Cayley數 (第 3 頁)

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四元數與Cayley數（第 3 頁）

余文卿

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．原載於數學傳播十五卷二期
．作者當時任教於中正大學數學所
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三、Cayley數

Cayley 數是由四元數 H 加入另一單位 e 而得，即

$\begin{displaymath}\mathcal{C}=\{P+Qe\vert P,Q\in H\}\end{displaymath}$

乘法的定義是

$\begin{eqnarray*} & &(P+Qe)(R+Se)\\ &=&(PR-\overline{S}Q)+(SP+Q\overline{R})e \end{eqnarray*}$

Cayley 數 $\mathcal{C}$ 中，除 H 中原來就有的 4 個單位 1,i,j,k 外，另由 e 與這四個單位相乘而得出四個單位。因此 C 中共有 8 個單位；而以 e₀(=1),e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆,e₇ 分別表示，這些單位與原先單位 i,j,k,e 的關係為

e₀=1,e₁=j,e₂=i,e₃=e,e₄=-k,e₅=ie,e₆=ke,e₇=je

每一Cayley數都可表成

$\begin{displaymath}x=\sum a_{j}e_{j},a_{j}\in R\end{displaymath}$

而單位之間的乘法滿足下面的法則：

$xe_0=e_0x=x, \forall x \in \mathcal{C}$
$e_{i}^{2}=-e_{0},i=1,2,\cdots\cdots ,7$
e₁e₂e₄=e₂e₃e₅=e₃e₄e₆=e₄e₅e₇=e₅e₆e₁=e₆e₇e₂=e₇e₁e₃=-e₀

現將上面的法則說明如下：

第一式表明e₀=1是 $\mathcal{C}$ 中乘法 $\mathcal{C}$ 的單位元素。

第二式表明8個單位，除e₀外，其他的7個單位的平方都是-1，故方程式x²+1=0在 $\mathcal{C}$ 中至少會有7個解。

第三式中，列出一些可結合之單位的連乘積。直接的驗證顯示 $\mathcal{C}$ 中的乘法沒有結合律，即

(xy)z=x(yz)

不一定成立；而在沒有結合律的乘法中，(3)式中的連乘積應是沒有意義。但事實並沒有想像中的壞， $\mathcal{C}$ 中的某些單位的乘積確有結合律。以 e₁e₂e₄=-e₀來說，這式子表示的意義有二：

e₁(e₂e₄)=(e₁e₂)e₄=-e₀
e₁e₂=-e₂e₁=e₄,e₂e₄=-e₄e₂=e₂,e₄e₁=-e₁e₄=e₂

回顧一下，四元數H中的單位i,j,k也具有同樣性質，因而H與 R e₀+R e₁+R e₂+R e₄也同樣的代數結構。

當然 e₁,e₂,e₄只是(3)式的一特例，另外尚有6個，如 e₂e₃e₅=-e₀也表示 R e₀+R e₂+R e₃+R e₅與H有相同的代數結構。

現在來看兩個不可結合的例子。

(e₁e₂)e₃=e₄e₃=-e₃e₄=-e₆

另一方面

e₁(e₂e₃)=e₁e₅=e₆

故 $(e_{1}e_{2})e_{3}\neq e_{1}(e_{2}e_{3})$ 又

$\begin{eqnarray*} & &(e_{1}e_{2})(e_{3}e_{4})=e_{4}e_{6}=e_{3}\\ & &[e_{1}(e_{2... ... &e_{1}[(e_{2}e_{3})e_{4}]=e_{1}(e_{5}e_{4})=e_{1}(-e_{7})=e_{3} \end{eqnarray*}$

上面例子顯示單位相乘，因不具結合性，算出的結果會有符號上的差異。

Cayley數中， $x=\sum_{i=0}^{7}a_{i}e_{i}$ 的共軛數定為 $\overline{x}=2a_{0}-x$ ，亦即 $\overline{x}=a_{0}e_{0}-\sum_{i=1}^{7}a_{i}e_{i}$ 。又範數N的定義是

$\begin{displaymath}N(x)=x\overline{x}=\overline{x}x=\sum_{i=0}^{7}a_{i}^{2}\end{displaymath}$

因而，若 $x\neq 0$ ，則x有一乘法反元素[N(x)]^-1x。

證明 N(XY)=N(X)N(Y)並不簡單，這要用到一些特殊乘積的結合性，即

$\begin{displaymath}(\overline{x}x)y=\overline{x}(xy)\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 68}}(xy)\overline{y}=x(y\overline{y})\end{displaymath}$

將 $x={\sum_{i=0}^{7}}a_{i}e_{i}$ 與 $y={\sum_{i=0}^{7}}b_{i}e_{i}$ 代入 N(XY)=N(X)N(Y)中即得出下面的等式：

$\begin{eqnarray*} & &(a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+\cdots a_{7}^{2})(b_{0}^{2}+b_{1}^{2}+... ..._{4}+a_{3}b_{7}-a_{4}b_{2}+a_{7}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{3})^{2} \end{eqnarray*}$

其中 $\sum$ 表示將足碼0固定，而將1，2，3，4，5，6，7依循環次序變換，如依次變換為2，3，4，5，6，7，1。注意等式右邊的八個數也正好是 $(x={\sum_{j=0}^{7}}a_{j}e_{j})(x={\sum_{i=0}^{7}}b_{i}e_{i})$ 之乘積的8個係數。

實數R、複數C，四元數H與Cayley數 $\mathcal{C}$ 都可以看成佈於R的向量空間，維數分別是1，2，4，8。在高中階段，對C已非常熟習；但對H與 $\mathcal{C}$ 知道的人，可能非常少，甚至有些人並不知道。

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編輯：許明吉 ∕ 校對：黃怡碧

最後修改日期：4/26/2002