Bernoulli 們：一個學者家族

文明史上，常常會出現一些若干代人在同一領域顯赫揚名的家族。最為人們所熟知的例子，莫過於幾位名叫 Bach 的音樂家、作曲家和樂師了；雖然如今他們中最受稱頌的只是 Johann Sebastian Bach，但是在18世紀，有十幾位他的近親同他一樣功成名就；Bach 家族的音樂活動早在17世紀就已開始，並持續到19世紀上半葉。在科學方面，尤其是在數學、力學和物理學領域中，Bernoulli 家族的成員們扮演了極重要的角色，其活動自17世紀末開始幾乎延續了100年；而且直到如今，它的後人還繼續活躍在各種知識領域之中。

涉及 Bernoulli 家族的最早的可靠資料，是關於安特衛普市一位名叫 Leon 的外科醫生的，他死於1561年。同這個家族中的其他成員一樣，他是一位路德派教徒；1570年左右，在狂熱的天主教徒 Alba 公爵的操縱下，西班牙入侵者用極端殘忍的手段迫害異教徒，Leon 的兒子、藥品商 Jacob 便攜帶其龐大家族邁居到美因河畔法蘭克福，他很快就成為這裡的臣民。Jacob 死於1583年，留下了一筆可觀的遺產和許多子孫。他的兒子 Niklaus 繼承了父親的事業，並成為一名化學家，他死於1608或1609年。1620年，Niklaus 的兒子 Jacob（1598～1634）移居到瑞士的巴塞爾，他也是一位化學家，兩年後他成為當地公民。Jacob 的兒子，另一位 Niklaus（1623～1708）就出生在巴塞爾，他繼承父親的職業，受過良好的教育，期間還遍遊了西歐;他在後半生被選入當地的高級政府和司法部門任職。

Bernoulli 家族的再下一代中，已出現了卓越的幾何學家（當時對工作在物理－數學領域內的科學家的稱呼）這就是 Jacob I Bernoulli 和 Johann I Bernoulli（由於 Bernoulli 家族中經常出現同名者，通常便以羅馬數字來區分其中的最著名者）。

Jacob I（1654～1705）畢業於巴塞爾大學，獲藝術碩士學位。正如我們所說，這裡的藝術是指七門「自由藝術」，包括算術、幾何、天文學和數理音樂的基礎，以及文法、修辭和雄辯術。遵照父親的願望，他又於1676年取得神學碩士資格，這使他得到講演佈道的權利。不過，Jacob I 沒有成為牧師，他醉心於天文學和數學，獨自地研究它們。從1677年起，他就養成了保持到終身的記學術日記的習慣，他把這稱為「沉思錄」(Meditationes)。他用拉丁文記錄對各種問題的解答和理論方面的概念，並常常附上完整的證明;他在後來準備出版數學論著時，曾廣泛地用到這些筆記。自1678至1682年，他幾乎遊遍了瑞士、法國、荷蘭、英國和德國，有時他靠教書和佈道來掙錢。通過閱讀當時的科學文獻，以及同當時的著名學者，諸如 C. Huygens、J. Hudde、R. Boyle 和 R. Hooke 等人的私人通信，他有效地豐富了自己的知識並拓寬了個人的興趣，使之幾乎包括了當時所有數學、力學和天文學的分支。他的第一篇科學論文是關於彗星的（1682年）。雖然其中對於彗星軌道的處理尚不盡如人意，但作者在文中提出了有關彗星周期性運動的思想，摒棄了認為它們的出現是人類凶兆的世俗觀念。

回到巴塞爾以後，Jacob I 開始講授力學，他的一些不重要的論文陸續發表在法國和德國的學術刊物上。他當選出任巴塞爾大學空缺出的數學教授職位是有決定性影響的，他於1687年3月開始擔任此職一直到逝世。在他的入室弟子中，有他的弟弟 Johann I（他是在 Jacob I 從事科學研究的初期親蒙其耳提面命的）；有 J. Hermann（1676～1733），他後來在意大利的帕多瓦和德國的奧得河畔法蘭克福當上了數學教授，並最終在創建於1725年的彼得堡科學院成為院士（那裡的院士頭銜與教授相當）；有他的侄子 Niklaus I Bernoulli；還有一位牧師 Paul Euler，大名鼎鼎的 Leonard Euler 的父親。

對於 G.W. Leibnitz 數學分析論文的鑽研，在 Jacob I 一生的創造道路中具有極為重要的意義。他首先從 Leibnitz 1684 年發表的關於微分演算的奠基性論文開始。這是一篇非常簡潔、幾乎沒有證明和解釋的文章。既使對於 Jacob I 這樣富有天份的數學家來說，理解起來也十分困難。他於1687年向作者求教。但是 Leibnitz 當時正在長途旅行中，最後 Jacob I 獨立地弄通了費解的原文，並且立刻將結果介紹給弟弟 Johann I。在此之後，兄弟兩人一道成為這位偉大學者最早的追隨者。由於各種原因，Leibnitz 在 Newton 之前公布了他對微積分的發現，儘管實際上 Newton 比 Leibnitz 早10年開始探討這個課題。1690年，Leibnitz 和 Jacob I 之間開始了經常性的通信聯繫，而在1693年，Leibnitz 和 Jacob I 的弟弟之間也開始了通信。這些信件涉及廣泛的課題，包括微積分及其在微分幾何、力學、彈性理論等方面的應用。兄弟兩人中每一個人的成就，同他們共同的未曾謀面的老師的一樣，都已蔚為可觀；他們三人一起創立了一個數學分析和理論力學的重要的大陸學派，它在18世紀30年代之後獲得了特別的成功。一個又一個有著最高才能的科學家，像 L. Euler、A. Clairaut、J. d'Alembert、J. Lagrange、P.S. Laplace 以及其他一些人成為這個學派的代表人物。順便指出，我們注意到 Bernoulli 兄弟在1690年提議引入術語「積分」(integral)，以代替 Leibnitz 一直使用著的術語「求和」(sum)；就在同一年，新的術語出現在 Jacob I 的一篇印刷的論文中。在 Jacob I 的作品和分析學成果之中，人們首先應考慮他對於無窮級數所作出的巨大貢獻，它共分成五個部分出版 (1691 - 1704)；還有他對大量重要的特殊曲線的微分性質所作的傑出研究，例如懸鏈線、彈性帶、拋物螺線、以及對數螺線等等。（後一種螺線的一個不太精確的圖象，被鑴刻在懸掛於 Jacob I 下葬的巴塞爾大教堂中的一塊金屬紀念牌上。）Jacob I 還給出了幾類一階常微分方程的解，現在其中的一類仍然冠以他的大名，同時他還解決了一些 Euler 後來稱之為「變分問題」(variational)的微積分問題。

更為重要的是 Jacob I 關於概率論的基礎性研究，這一研究始於17世紀80年代，並在《猜度術》中作了詳細的基本的論述。在他的手稿之中，也有這方面的部分研究內容。有關段落到1975年才公開出版。佔據《猜度術》一書中心位置的是所謂「主命題」，對此他在第四和最後部分中作了系統的闡述。我們按照 S.D. Poisson 的叫法，稱這個「主命題」為「大數定律」。Jacob I 考察的是最簡單的情形，即在整個試驗序列中，某個給定事件的出現概率始終保持為常數。大約在1687～1689年間，Jacob I 首次在「沉思錄」中敘述並證明了他的「主命題」。但在開展這些奠基性研究多年之後，Jacob I 仍沒有發表它們，原因是他患上了痛風，因而未能完成將其理論應用到各種民事的、「道德的」（我們稱為法律的）以及經濟的問題上去的工作。由於 Jacob I 同 Johann I 之間的爭執──連他們的家屬也被捲了進去了，以致在 Jacob I 死後，他的後人又將手稿的出版延誤了多年。其結果是在作者去世八年之後，這部奠基性著作才按其本來面目被刊印出來。注意，在這部著作的第二部分，作者論述了組合分析，還有在涉及機遇的遊戲中求解的獨特的數學方法，這正是 Jacob I 之前全部概率演算所關注的主題。作者還引入了所謂「Bernoulli 數」，自此之後在數學的許多領域中都會遇到它。

1692年，Jacob I 在巴塞爾大學作了一次題為「組合術」的演講，他在其中對組合分析的內容和方法作了一個簡短的描述，並強調了它在概率論的應用中的重要性，這種應用不僅適於涉及機遇的遊戲，而且適於法律等問題。

Jacob I 將「主命題」及其證明告訴他的弟弟 Johann I 的時間當不晚於1690年。在18世紀開始的時候，他還告知了 Leibnitz，不過未附證明。他還告訴過他的侄子 Niklaus I。在他死後，從大約1706～1707年開始，關於《猜度術》的內容和大數定律的精髓就開始傳播開來，這應歸功於 J. Hermann 和 Niklaus I 在數學界，特別是在法國科學出版界的宣傳。在 Jacob I 生前，法國科學家們就已經對他的成就表示欽佩。1699年，他被選為巴黎科學院的國外院士。1701年，他也被柏林科學協會（即後來的柏林科學院）接受為成員，這個協會是在 Leibnitz 的倡議下創立的。

1683年，Johann I Bernoulli（1667～1748）拒絕了父親讓他成為一名商人的勸告之後，進入巴塞爾大學學習，兩年後成為藝術碩士。他對數學的熱情部分地來自哥哥的指導。在學習數學的同時，為了穩當起見他又攻讀了醫學，甚至在1690年得到了這門學科的碩士學位，不過他從未利用過這一資格開業。接著他在巴黎待了一段時間，在那裡把兩位有才華的法國人爭取到 Leibnitz 一邊來，這就是巴黎科學院的一位院士 P. Varignon，以及後來也當上院士的 G.-F. de L'Hopital 侯爵。作為某種酬謝，Johann I 為 L'Hopital 開設了一個微積分講座，允許他在講課筆記的基礎上寫一本書，並且通過信件寄給他補充材料。De L'Hopital 是一個有著迷人風度的天才數學家。按照與導師達成的協議，他用自己的名字出版了關於微分學的第一部教程《關於曲線研究的無窮小分析》（巴黎，1696年）。由於這本書具有宜於教學的優點，它在其後的幾乎一個世紀被不斷地重印。在此我們附帶指出，每一個數學家所熟知的「L'Hopital 法則」，實際上是屬於 Johann I 的。Johann I 本人的筆記直到1922年才被發現，但他於1742年自己發表了《積分方法數學文選》，這已是 L'Hopital 死後多年的事了。

17世紀90年代，Johann I 系統闡述和解答了數學分析及其在幾何和力學方面應用的一系列新問題，使世人知曉了他的貢獻。他的這些成果，有些公開發表在當時的期刊上，有些則包含在他寫給同時代人的數量眾多的書信中。Johann I 與 Leibnitz 一個人就交換了275封極為有趣的長信。與此相對照，Jacob I 與 Leibnitz 的通信僅有21封。誠然，Jacob I 死得早了些。而Johann I 的全部學術通信包括寫給一百多位學者的將近2500封書信。

回到巴塞爾以後，Johann I 參加了醫學考試並進行了醫師論文答辯。答辯的內容是對肌肉活動進行的數學分析，這是當時醫學力學新流派關注的一個典型問題，這個流派在思想體系上的領袖是意大利G. A. Borelli。但是，Johann I 終究沒有成為一名醫生。1695年，由於 Huygens 的說項，他獲得荷蘭格羅寧根大學的數學教席。他的數學和實驗物理課被證明是極為成功的；在許多年當中，很多大學都向他發出邀請。1703年，巴塞爾大學提供給他一個薪金很低的希臘語教授職位。他原則上表示同意，但期望一個更好的位置，便有意拖延不去。1705年8月，Johann I 由於岳父的催促，離開了格羅寧根應邀前往烏得勒支。但是他在途中聽到了 Jacob I 的死訊，便拒絕了一切其它邀請，決定返回故鄉。巴塞爾的科學團體極為熱情地歡迎了他。這一年11月，他被選為巴塞爾大學的數學教授，他在這一職位上終其一生。雖然校方略微提高了他的薪金，但卻仍然遠遠低於一個神學教授的薪水，不過這種收入已經顯著地高於一個希臘語或歷史學教授了。為了負擔一個人口眾多的家庭，Johann I 只能兼作夜校教師。

Johann I 對數學分析及其在幾何和力學方面的應用所作出的貢獻是可觀的。他解決了許多問題，對微積分運算的範疇作了意義深遠的拓廣。在這些成就中，我們要提到一階齊次常微分方程的積分，首次應用了積分因子，以及利用等傾線解微分方程的圖解法。值得一提的另一個重要問題是如何確定與給定的一族單參數平面曲線相互正交的曲線，它也是由 Johann I 系統地加以闡述（起先是在寫給 Leibnitz 的一封信中，隨後很快發表在一個期刊上），並由他和其他人一道解決的。1698年，Johann I 又把解答推廣應用到一般的等角軌線問題上。

Johann I 的所謂「最速降線」(brachistocrone) 問題（1693年），在他一生的貢獻中占有特殊的地位。這種曲線具有如下性質：一個質點沿著它可以用最短的時間，從定點 A 下降到不在同一鉛垂線上的定點 B（旋輪線就具有這一性質）。大約在同一時期，Johann I 還提出了確定測地線，即凸曲面上兩點之間最短連線的問題。包括 L. Euler 在內的許多傑出數學家隨後都研究了這一問題。它們連同由 Jacob I 幾乎在同一時期提出的所謂等參數問題一道，成為確定（用現代術語來說）泛函的極值的最早例證，它屬於變分法的範疇。L. Euler 在1744年大大地推廣了這些問題和方法，J.L. Lagrange（1755年以後）顯著地發展了有關的算法，使這一演算成為分析學的一門分支。

年輕時是哥哥的門徒的 Johann I，成年後卻成了哥哥的競爭者。最後，由於雙方自尊心都受到傷害，他們的關係惡化了。爭論發生在對各種問題的解答，以及他們所使用的方法的正確性和獨立性上，特別是有關變分法的問題上。雙方的家庭都捲入了這場爭論，其不幸的後果是，Jacob I 的遺孀和他的兒子（一個畫家）將他的手稿在外藏匿多年，以致延誤了《猜度術》的出版。的確，他們曾向 Jacob I 的學生 J. Hermann 出示過這部手稿，但是他們當時沒有讓 Niklaus I Bernoulli 看，因為他在1705年自己的第一位導師 Jacob I 死後成為 Johann I 的門生。事情就這樣一直被拖延下來，幾乎使這部經典著作的價值受到損害。

Johann I 長時期的教學活動和他對數學的貢獻，明顯地影響著數學科學在18世紀的進展。他的成就受到了高度的評價。同他的哥哥一樣，他被同時選為巴黎科學院和柏林科學協會的國外成員；他還被推選為（英國）皇家學會(1712)、意大利波倫亞科學院(1724)和彼得堡科學院 (1725，即該院建院的當年）的國外院士。在他的入室弟子中，有他的兒子們：Niklaus II、Daniel I 和 Jacob II；有他的侄子 Niklaus I（自1705年以後） ^註1 ；有天才的瑞士數學家 G. Cramer（1704～1752）；還有18世紀最偉大的幾何學家 L. Euler（1707～1783）。從1726至1741年，Euler 曾是彼得堡科學院院士，在接下來的25年間，他是柏林科學院院士並任數學學部主任，同時仍然是彼得堡科學院一名活躍的國外院士。從1766年直到逝世，Euler 再度在彼得堡擔任院士。他也是（英國）皇家學會的成員(1747)和巴黎科學院的國外院士(1755)。

這裡來指出 Euler 對於負數和複數的對數所作的正確解釋並非多餘，這是一個已被 Leibnitz 和 Johann I 認為是無效的問題。Euler 還盡其所能地使他的老師 Johann I 和他的朋友 Daniel I 這對父子和睦相處；那是在1742年，Johann I 沒有根據地宣稱對他兒子在流體力學方面的工作擁有優先權。到此為止我們沒有談到 Johann I 的力學工作，他在這一領域的成就是饒有趣味的，但是他對 Newton 天體力學的排斥態度妨礙了它在歐洲大陸的傳播。我們也不想涉及 Johann I 對 Newton 和 Leibnitz 之間關於微積分發現權的無謂爭論的介入，這是一場被雙方的追隨者大大激化了的爭論。

Hyeronimus（1669～1760）是 Jacob I 和 Johann I 的弟弟，他同家族中的其他許多成員一樣，是一位化學家，又是個經營有方的商人。

上文中曾多次提過的 Niklaus I（1687～1759）是畫家和城市律師 Niklaus Bernoulli（1662～1716）的兒子。他先是 Jacob I 的學生，後來成了 Johann I 的得意門徒，他同 Johann I 一道在格羅寧根住了六個月，直到 Johann I 返回巴塞爾為止。他從事數學研究的時間很短，其傑出的才能未能得到充分顯示。當他是 Jacob I 的學生時，就熟悉了 Jacob I 的已出版的著作和手稿，包括學術日記和《猜度術》的手稿；他在腦子裡記住了很多，並盡其所能筆錄了其中的大量內容。除數學之外，Niklaus I 還攻讀法律，具備兩種職業技能幾乎是這一家族的傳統，因為這樣可以使選擇職業具有更大的餘地。的確，數學和物理教授的職位很少，不僅在瑞士，在整個歐洲都是如此，只有在有人死亡或退休時才會出現空缺。1704年，經過一場內容涉及其伯父的無窮級數論著之一部分（共有五個部分）的公開答辯之後，Niklaus I 獲得藝術碩士學位，在此之後，他花費了大約十年時間研究概率論及其應用。

在廣泛引用 Jacob I 的科學遺著的基礎上，Niklaus I 準備好了題為《關於猜度術在法律中的用途》的博士論文，並於1709年通過答辯。Niklaus I研究的其它課題還有對人壽保險及其性質以及彩票經營等緊迫問題；包括 Euler 在內的許多科學家都相繼研究了概率論的這些應用。從某種程度上說，Niklaus I 的論文可以視為《猜度術》的續篇，盡管它根深蒂固地依賴、甚至逐段地抄自後者，但是從整體上來說它卻是一篇足以證明作者天賦和高水平的創造性論文。Johann I 在寫給 Leibnitz 的信裡對他侄子的才能作了讚美性的介紹，同時也表示了對他科學生涯的關懷。

1710～1713年間，Niklaus I 兩度出遊法國、荷蘭和英國，結識了許多科學家，尤其是結交了巴黎的數學家 P.R. de Montmort 以及因受到胡格諾派教徒迫害而背井離鄉僑居倫敦的法國流亡者 A. de Moivre。1709年，Montmort 出版了一本論述機遇遊戲的書《賭博遊戲的分析隨筆》。這是 B. Pascal、P. Fermat 和 C. Huygens 曾經討論過的課題，de Moivre 在1711年也研究過它。共同的科學興趣把三位年輕的學者聯結在一起。Niklaus I 和 Montmort 成了親密的朋友並在倫敦期間與之保持定期的通信。Niklaus I 還與 Leibnitz 通信，並與巴塞爾保持著聯繫。在倫敦，他開始研究涉及機遇的遊戲，並寫了一篇評論，於1714年發表在《哲學學報》上。de Moivre 的一篇內容相關的文章也發表在同一期雜誌上。在伯父的鼓勵下，Niklaus I 糾正了 I. Newton《自然哲學的數學原理》(1687)中一個站不住腳的觀點，當時這位偉人正和他的學生 R. Cotes 一起籌備該書的第二版。這件事導致了這位年輕的瑞士人和 Newton 之間的私人交往，這時 Newton 已是英國數學學派的領袖和皇家科學院院長。英國科學家們開始對 Niklaus I 抱有好感與敬意，並於1714年選他為皇家學會會員。在此一年之前，柏林科學協會便已根據 Leibnitz 的提名批准他加入協會。1712年10月，Niklaus I 通知 Leibnitz，Jacob I 的《猜度術》終於在巴塞爾開印了。

在返回家鄉的途中，Niklaus I在法國逗留了幾個月，在這裡他基本上是幫助 Montmort 準備《隨筆》第二版（巴黎，1713），這一版本還包括了他們兩人關於概率論的通信。這本書，以及這些書信，尤其是 Niklaus I 寫於1713年10月11日的信中對一些人口統計資料進行了概率分析，它們成了 de Moivre 隨後一系列研究的起點，這些研究導致了現在人們所知道的、冠以 de Moivre-Laplace 之名的極限定理。Niklaus I 還按自己的形式向 Montmort 介紹了 Jacob I 的大數定律，這種形式比較接近於 Jacob I 在日記和《猜度術》第四部分第四章中所用的形式，而不是該書後一章中的最終形式。Niklaus I 知道《猜度術》已經開印，所以他看來無須擔心透露大數定律的精髓會對已故伯父的優先權帶來損害。Niklaus I 於1713年9月9日寫給 Montmort 的另一封信，也被收進後者書中，他在信中陳述了所謂「彼得堡問題」，這個問題引起了許多數學家的討論。Daniel I Bernoulli 就在彼得堡科學院的《評論》上發表了一篇有關這個問題的論文。Daniel I 在文中首次將無窮小分析應用於概率論，他還引入了所謂「道德期望」(moral expectation)概念；在18和19世紀，這一概念有時被草率地用到民眾生活問題之中，只是到了1925年，蘇聯數學家A.Y. Khinchine 才有可能解釋清楚由此所造成的荒謬和困惑。但正如 U.B. Linnik 在1959年所指出的一樣，源起於 Daniel I 的用對數函數定義一個特定泛函的論文中的思想，已被用於現代信息論的理論之中。

1713年5月，當 Niklaus I 回到巴塞爾時，《猜度術》的印刷工作已近尾聲。這時候，Jacob I 的兒子才與他這位大堂兄打交道，請他幫助潤飾定版。不管怎麼說，此時再作任何補充都太晚了，因為這樣做將進一步延誤印刷出版。Niklaus I 只答應寫一篇簡短的序言，並為校對員忽略了的公式中較為嚴重的印刷錯誤編一張勘誤表。這部著作於1713年8月問世，比 Montmort 的《隨筆》要早幾個月。撰寫概率論歷史的作家都錯誤地認為 Niklaus I 是《猜度術》的編輯。著名的哲學家和數學教授 C. Wolff 顯然是第一個在其《數學辭典》(Leipzig, 1716) 中提出這一說法的人。

1716年底，Niklaus I 在 Leibnitz 的幫助下獲得了意大利帕多瓦大學數學教授的職位。但是他僅僅在那裡工作了三年。原因大概是作為一個新教徒在天主教占統治的環境中感到不舒服。不過意大利人仍然尊重他，1724年他被選入意大利巴勒莫科學院。

1719年深秋，Niklaus I 回到了巴塞爾，1722年他獲得巴塞爾大學的邏輯學教席，直到1731年獲得法律教席為止。他的這份工作需要花費很多時間，而他還要從事法律事務以謀取額外收入，他的創造性數學工作自然要受到影響。但是儘管如此，他發表於1720和1721年約兩項關於等角軌線的成果，後來成為數學分析教材中的內容，它們分別被稱為二元函數的二階混合導數等式以及表達式 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 可積性的條件。

Euler 在 Clairaut 之後，進一步發展了常微分方程的積分因子理論，增補了由 Niklaus I 所發現的內容。Niklaus I 與 Euler 之間的短暫通信（1742～1745）包含一些有趣的成果，可惜由於 Niklaus I 的工作負擔太重，通信突然地終止了。

1711年，Johann I 的長子 Niklaus II Bernoulli（1695～1726） ^註2 獲得藝術碩士學位，接著又於1715年在巴塞爾大學獲得法學博士學位。他遵照父親的勸告學習法律。自童年起，他就以出眾的記憶力著稱。8歲時，他已能流利地說德語、法語、荷蘭語和拉丁語。年輕時曾出遊數載，先後在巴黎結識了 Montmort 和 Varignon，在意大利結識了 G. Riccati 和 C. Goldbach。Goldbach 先前在倫敦遇見過 Niklaus I，之後又成了 Niklaus II 在彼得堡科學院的同事。Goldbach 同 Niklaus II 以及 Daniel I 的通信是很有趣的，儘管它們不如他與 Euler 之間的、已公諸於世的著名信件重要。Niklaus II 在瑞士伯爾尼當過兩年半的法律學教授。後來他同 Daniel I 一起接受了彼得堡科學院的邀請，出任那裡的數學教授。兩兄弟於1725年10月27日抵達俄國。在數學領域，Niklaus II 在其父親從事過的常微分方程和正交軌線領城中工作。特別值得一提的是，他的關於一階線性常微分方程的指數代換解法，於1728年發表在彼得堡科學院的《評論》上，後來 Euler 成功地應用了這一方法。然而厄運卻使他的巨大天賦未能開花結果；在抵達俄國幾個月之後，腸道膿腫便葬送了這朵奇葩。

Daniel I（1700～1782）是 Johann I 的次子，1716年16歲時 ^註3 即已獲得藝術碩士學位。父親和長兄 Niklaus II 是他的數學導師。父親曾打算讓他謀一個經商的職業，又允許他同時學醫：起先在巴塞爾，後來到海德堡、斯特拉斯堡，最後又回到巴塞爾。1721年，Daniel I 通過了有關考試，並就他的專門討論呼吸的博士論文作了答辯。他在瑞士以及後來在意大利尋找工作的嘗試都未能成功。不過，他於1724年在意大利出版了自己的著作《數學練習》，書中收進了一些可以用分離變量法解答的 Riccati 微分方程的例子（這種方法由 Riccati 本人、Johann I、Niklaus I 和 Niklaus II 各自獨立地發現）。回到巴塞爾以後，他與哥哥一道接受了去彼得堡科學院工作的邀請。在彼得堡，他先是被任命為生理學教授（即院士），而後於1727年成為數學教授。兩兄弟是由 Euler 邀請前往彼得堡的，Daniel I 到1733年返回巴塞爾之前一直與 Euler 同住一套房間，他離開的原因是同臭名昭著的 J.D. Schumacher 之間的關係緊張，後者是科學院的官方顧問，掌管科學院的所有行政大權。

還是在意大利時，Daniel I 即已開始了他對流體力學的研究。在彼得堡期間，他出色地繼續著這一工作，寫出了經典著作《流體動力學》(Hydrodynamica) 的初稿，定稿本於1738年在斯特拉斯堡出版（它於1959年譯為俄文）。這部著作的標題是 Daniel I 創造的新詞，它的內容是如此豐富以致於這裡不可能詳述。正如上文提到的，這部著作的出版引起了作者與父親的齟齬。1742年，後者在他的《水力學》中不公正地指責 Daniel I 的《流體動力學》中所有的主要成果都是借來的。Daniel I 的全部力學和數學著作超過了80種。他的學術通信，大部分是同 Goldbach（1723～1730年間）、Euler（1726～1767年間）以及同他自己的侄子 Johann III （1773～1774年間）的來往信件，對物理和數學科學的進步也是十分重要的。彼得堡科學院更為感激 Daniel I 把他的門生 N.I. Fuss 送到俄國來。自1776年起，Fuss 先是 Euler 最親密的助手，接看便成為數學方面的院士，自1800至l825年，他還擔任了科學院的常務秘書。Daniel I 寫給 Fuss 的信（1773～1778）也是非常有趣的。Daniel I 的書信的相當部分（雖不是全部）都已公開出版，他同 Euler 間的全部通信正在籌備出版。

Daniel I 的研究領域極為廣泛，包括了各門數學科學及其技術的應用的各種課題。他在概率論和人口統計方面的工作，以及他對力學系統振動問題的研究，都值得特別注意。尤其是他參加了數學物理中對描述連續弦的小振動的方程的解的論爭。這一爭論首先在18世紀40年代末爆發於 J. d'Alembert 和 L. Euler 之間；Daniel I、J.L. Lagrange 以及其他一些18世紀最著名的幾何學家後來都加入了。Daniel I 首次提議將問題的解表示為 Fourier 級數的形式（按現在的說法），這種級數是建立在等時振盪疊加原理基礎之上的。這樣就產生了一個將函數展開為三角級數（Fourier 級數）的純數學問題，它在19和20世紀對許多分析學分支的發展具有驚人的價值，包括實變函數論，以及諸如函數、積分等基本概念的發展在內。Daniel I 相信，分析學中用到的任何函數都可以表示成這樣的一個級數，但是他不可能證明其想法的正確性（在剛才提到的一般情形下，實際上是不可能證明的）。即使對於存在 Fourier 展開式的函數，他也沒有一種可供計算展開式中係數的方法。四分之一世紀以後，Euler 首先用分析方法計算出了這些係數。正如 V.A. Smimov 所指出的(1959)，在那個時候，Daniel I 方法的價值在於分離出主振動並認識到振動的疊加起看重要作用。J.B. Fourier 在他關於熱傳導的著名工作（1807～1822）中意味深長地發展了 Daniel I 的思想，應當說將 Fourier 的方法冠以 Daniel I 的名字，同冠以他的名字一樣都是公正的。同樣地，也有充分的理由將 Fourier 級數展開式中的係數稱為 Euler-Fourier 係數。

回到巴塞爾以後，Daniel I 補了大學植物學教授的空缺；後來又改教生理學，這對他來說是一個更有趣的課題，因為要用到 Fourier 級數。最後他於1750年接受了物理學教授職位。他的講課獲得巨大的成功。在他有生之年都保留著彼得堡科學院的院士頭銜，從那裡領取年薪並將他的許多論文發表在它的學報上。他也是柏林(1746)和巴黎(1748)科學院、英國皇家學會(1750)和許多其他科學院及科學協會的國外成員。自1725至1757年，巴黎科學院十次為他在技術、物理和天體力學方面的論文授獎。

Johann II（1710～1790）是 Johann I 的小兒子，他在巴塞爾大學獲得藝術碩士和法學博士學位(1732)，他是 Bernoulli 數學家族中第三代的最後一個代表。他的科學活動顯著地少於前輩們，不過還是因物理學和技術方面的論文四次獲得巴黎科學院的獎賞（有些獎是與父親分享的）。在一段長時間內，他未能為自己謀得一個教授職位，直到1745年才獲得一個修辭學的教席。不過在 Johann I 死後，巴塞爾大學出於對 Bernoulli 家族的敬重，破格將他父親的職位授給了 Johann II。1730年初，Johann II 在彼得堡逗留了14個月，後因不可能得到在此長期供職的協議，同其兄長 Daniel I 一道返回巴塞爾。1746年，他被選為柏林科學院院士，在 Daniel I 死後，他又獲得巴黎科學院的院士資格。

Johann III（1744～1807）是 Johann II 的兒子，按其所受教育來說也是一位律師兼數學家。他是他父親和 Daniel I 的門生。自1764年起，他成為柏林科學院的數學院士。自1767年起，他擔任當地天文台台長，而自1791年至1807年，他擔任了科學院數學學部主任。1776年，彼得堡科學院推選他為國外院士。

Jacob II（1759～1789）是 Johann II 的小兒子，按他所受的教育來說同樣也是一位律師兼數學家。同他哥哥一樣，他也是父親和 Daniel I 的學生，他在周遊了歐洲(1787)之後，被彼得堡科學院推選為院士。在彼得堡，他娶了 Euler 的孫女為妻。他在力學和彈道學方面的少數幾項工作是有發展希望的；可惜他在30歲時就因游泳淹死在涅瓦河裏。

Bernoulli 家族的數學家譜系就這樣終結於第四代。這裏再附上一些較為枯燥的信息，介紹這個家族中其他幾位學識淵博的成員;直到近世，這個家族的後裔在事業上還很成功。

Daniel II（1751～1834）是 Johann II 的次子，原先是個醫生，後來在巴塞爾大學擔任了一段時間的修辭學教授。

Christof（1782～1863）是 Daniel II 的兒子，曾就學於格丁根 (Gottingen)。1819年，他在巴塞爾獲得自然歷史學教席，1835年至1861年任工科教授。他作為眾多技術書籍的作者而聞名於世，特別是一部關於蒸汽機的著作，從 1822至1865年被再版五次。

Johann-Gustav（1811～1877）是 Christof 的兒子，他是一位製造商，曾修訂父親所著的工具書《機械學手冊》，該書原版於1829年，它的第16版於1877年在斯圖加特問世。

Johann-Jacob（1831～1913）是巴塞爾大學的一位歷史學教授，出版過好幾部關於古代藝術史的著作（1867～1902）。他的弟弟 Karl-Gustav（1834～1878）是一位醫生和迷戀植物學的自然科學家，他在航海期間研究了瓜地馬拉的植物群。

為了說明 Bernoulli 家族後裔們在職業上的多樣性，我們再提出著名的瑞士建築師 Hans-Benno （1876～1959）；還有 Maria-Luisa（1877～1959），她是巴塞爾的化學教授、卓有影響的刊物《海爾維希化學實錄》的創辦人和併做了30年的編輯，她還是好幾個瑞士學術機構的名譽博士。

Bernoulli 家族的代表人物之一 Karl Christof（1861～1923）是巴塞爾大學圖書館的一位高級館員。1972年，眼科醫生 Rene Bernoulli-Sutter（1914～　　）和他的兒子（也是一位醫生）Lion Bernoulli（1948～　　）出版了一本包括 Bernoulli 家族所有知名成員的詳細資料的書，包括大量的傳記性資料。

甚至在今天，Bernoulli 家族的許多成員，即使不屬於數學王國，也仍屬於科學、技術和藝術的王國。

(1) Bernoulli-Sutter, R. unter Mitarbeit vor Bernoulli, L. Die Familie.
Bernoulli. Basel, 1972, in Commission bei Helbing und Lichtenstrahn.

(2) Several artciles in the "Dictionary of Scientific Biography," vol. 2,New York, 1972, Ed. G. Gillesple.

: a) Straub, H., Bernoulli Daniel, 36-40 (contains a complete list of D. Bernoulli's printed works and maruscripts);
: b) Hofmann, J.E., Bernoulli Jacob I, 46-51;
: c) Fleckenstein, J.O., Bernoulli Jacob II, 51;
: d) Fellmann, A.E. and Fleckenstein, J.O., Bernoulli Johann I, 51-55;
: e) Fleckenstein, J.O., Bernoulli Johann II, 56;
: f) Flockenstein, J.O., Bernoulli Johann III, 56;
: g) Fleckenstein, J.O., Bernoulli Niklaus I, 56-57;
: h) Fleckenstein, J.O., Bernoulli Niklaus II, 57-58;

(3) Garibaldi, A., Bernoulli famiglia in Scienziatie technology dalle originial 1875, vol 1, Milano, 1875.

(4) Cantor, M., Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, B. III-IV. Ersts Auflage, Leipzig, 1899-1904.


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