在建立了 n 元流形的觀念，並將其中位置決定問題轉化成為數值決定問題的基本性質確立之後，我們接著要討論第二個問題，亦即研究能適用於流形的度量關係，及決定這些關係的條件。這些度量關係只能以抽象方式表示，而它們之間的關連只能藉公式表達。然而在某些假設之下，我們可以把它們化成能獨立地以幾何方式表現的關係，也因而可以將數量運算的結果以幾何表示。因此，雖然無法完全避免抽象公式化的研究，但其結果可用幾何方式表出。這兩個部分的基礎見於樞密顧問高斯談曲面的著名論文中。

測量，需要先讓量獨立於位置而存在；有很多方法可以辦到這一點。這正是我在此所要提出的假說， 亦即線的長度與其形狀無關，每條線都能以另一條線測距。位置化簡為數量， 則 n 元流形中的點的位置可用 x₁, x₂, x₃ 直到 x_n 等 n 個變量表示；如此， 則只要 X（X=x₁, x₂ … x_n）能表為參數 t 的函數，便能定出直線。所以我們的主題是， 為線的長度定出一個數學式；為此，所有的 X 要有共同的單位。 我要在某些特定條件的限制下處理這個問題。首先我要規定我所討論的線， 其 dx_i（x_i 的微變化量）間的比值呈連續變化。如此，我們可以把線分割成許多小段的「線元素」（line element） ，使得「線元素」上 dx（即 dx₁, dx₂, dx₃,,dx_n 間）的比為定值， 我們的問題則是，如何為每一點找出一個 ds 的一般式，其中 ds 必須以 x 和 dx 表示。再則， 我要假設，當「線元素」上每一點都產生相同的微量移動時，「線元素」的長度 ds 一階不變；也就是說， 如果所有的 dx 都以同一比例放大，則「線元素」亦以該比例放大。在這些假設之下， 「線元素」可以是 dx_i 的一個一次齊次函數，其中 dx_i 全變號時「線元素」不變， 且一次齊次式的係數都是 x 的函數。舉一個最簡單的例子： 先找一個式子來代表與這個「線元素」的起點等距的所有點所形成的 n-1 維流形； 亦即找到一個位置的連續函數，使得上述各等距 n-1 維流形代入之值都不同。 則向各個方向遠離起點時，函數的值必須越來越大，或越來越小。我要假設在其往各方向遠離起點時， 函數值越來越大，而在起點產生最小值。因此函數的一次與二次微分係數如為有限，則一次項係數須為零， 而二次項係數為非負；在此假設二次項係數恆正。當 ds 固定時，這個二次微分式亦固定； 當 ds 以同一比例放大時（dx 亦然），它以平方的關係放大。因此，它等於 ds² 乘以一個常數， 而 ds 也因而等於一個以 x 的連續函數為係數的 dx 的正二次齊次式的方根。在物理空間中， 如用直角座標，則 ；物理空間是我們這個「最簡單的例子」中的特例。 下一個次簡單的例子應該算是以四次微分式的四次方根來表示線元的流形了。 研究這種更一般的情形並不需要新的原理，然而非常費事，且對物理空間的研究幫助不多， 特別是因為其結果無法以幾何形式呈現。我因此只打算研究「線元素」能表為二次微分式方根的這種流形。 若以 n 個新的獨立變數的 n 個函數，代替原有的 n 個函數，則可將原來的式子轉換成一個類似的式子。 然而我們並不能這樣任意地用此法把一式變成另一式， 因為這樣的式子有 個係數是獨立變數的任意函數 ¹ 。 引進新變數時只能滿足 n 個條件，因此只能將 n 個係數的值求出。還剩下 個係數， 完全取決於所代表的流形，而需要 個位置函數來定出它的度量關係。因此， 像平面和物理空間這樣子，線元素可寫成 的流形，構成了一種特殊情形， 是我們正要探討的。他們需要一個名稱； 因此我想把這種線元素平方能以全微分平方和之式子表示的流形叫做「平」（flat）的流形。為了分析上述流形的主要差別，必須除去依賴於表現方式的那些特性。為了達到這一點，我們要依據一定的原理來選擇變量。

基於以上的目的，我們要建立一個自一原點出發的測地線或最短曲線系統。如此， 任意點可經由兩個條件而確定其位置：連接該點與原點的最短曲線長度，以及此線在原點的初始方向。 也就是說，找出 dx⁰（起始點上沿最短曲線的 dx）的比值，及此線的長度 s，就可得所求點的位置了。 我們現在引進一組線性表示 來代替 dx⁰，使得在原點線元素的平方等於這些 的平方和， 因此獨立變數便成了 s，以及諸 的比。最後，找 x₁, x₂, x₃, …,x_n 使其與 成正比，且平方和等於 s²。引入這個量之後，對於微量的 x， 線元素的平方會等於 。但它的展式中的下一級則是一個有 項的二次齊次式： (x₁dx₂ - x₂dx₁), (x₁dx₃ - x₃dx₁), ，形成了一個四次的微量；我們若將它除以 , , 三點為頂點的三角形的平方，將得到一個有限值。此值在 x 和 dx 同屬一個二元線性式時，或當由原點到 x 及由原點到 dx 這兩條線屬同一面元素時，是不會變的，因此視面元素的位置和方向而定。很顯然，若我們的流行是「平」的，它會等於 0；此時線元素的平方可以化為 ；因而可以將該值視為在此面元素的方向上與「平」之偏差的一個指標。將它乘以 ，則便成了樞密顧問高斯所稱的面曲率。先前提過，需要有 個位置函數才能確定上述 n 元流形的度量關係。因此，每點若給定 個面方向的曲率，便可以定出流形的度量關係；但有個條件：這些曲率值之間不能有恆等式的關係，而確實如此，一般不會發生這種情形。這樣一來，這種能以微分平方式的方根表線元素的這種流形，其度量關係因此以完全獨立於變量的選擇表示。我們也可以用同樣的方法處理一種線元素表現的稍微複雜的情形──線元素表成微分的四次方根。在這種更一般的情形下，線元素無法化成微分式的平方和的根號，因此線元素平方與「平」的偏差度將會是二階的微量，而非如其他流形是四階微量。這種特性，不妨叫做最小部份的平面性。然而就目前而言，這些流形最主要的特性，也是我們之所以要加以研究的原因，是二維流形的度量關係可以用幾何上的「曲面」來代表，而多元流形的度量關係可以化為自身所包含的「曲面」。我們將再做討論。

在曲面的了解上，內在的度量關係，雖然只和曲面上路徑的長度相關， 卻往往和曲面與其外部點之相對位置扯上關係。然而我們可以自外在關係中把曲面抽出， 方法適用一種不改變面上曲線長度的彎曲；亦即曲面只能加以彎曲，而不能伸縮， 因彎曲而產生的各種曲面都視為相同。因此，任何的圓柱面和圓錐面和平面是相同的， 因為只要將平面彎曲便可形成錐和柱，而內在度量關係不變，所有關於平面的定理──整個平面幾何學， 都仍然有效。反過來說，球和上述的三種面則根本上不同，因為由球面變成平面勢必要伸縮。 根據前面的研究，二元量的線元素若能表為微分平方式的方根，如曲面， 則其每一點的內在度量關係決定於（面）曲率。就曲面而言，這個量可以想像成曲面在這點的兩個曲率積； 或者由另一角度看：這個量乘以一個由測地線形成的無限小三角形（隨著其直徑的縮小）， 會等於內角和減去兩直角（用弳度量表示即內角和減π）的一半。 第一個定義預設了兩個曲率積在曲面彎曲下不變的定理。第二個定義則假定一個無限小三角形， 其內角和減去兩直角會正比於面積。為了在n元流形中給定點的一個面方向（surface direction）上， 替曲率下一個可以理解的定義，我們先提過，發自一點的最短曲線決定於其初始方向。 同理，如果將所有起自一點而處在面元上的向量延長成最短曲線，則可定出曲面；而這曲面在這定點上有一定的面曲率，此面曲率等於此點的n元流形沿曲面方向的曲率。

把這些結果應用到空間幾何上之前，我們還需要對「平」的流形（亦即，線元素平方可以表為全微分的平方和的流形）做一些通盤的考慮。

在一個「平」的n元流形上，每一點，每一方向的曲率皆為0；然根據前面的研究，如果要決定其度量關係，必須知道每一點上有 個獨立曲面方向，其曲率為0。曲率處處為0的流形，可以看成是曲率處處為定值的流形的一種特例。曲率為定數的流形，其共同特徵如下：其上的圖形可移動而不必伸縮。很顯然，每一點為每一方向的曲率如果不全相同，圖形便無法自由地平移、旋轉。反過來說，流形度量的性質完全由曲率決定；因此在任一點的每個方向上的值與在另一點每個方向上的值完全相同，因此可以從任何一點開始。所以在曲率固定的流形上，圖形可以擺在任何位置。這些流形的度量關係僅決定於曲率之值；順便由解析的觀點看，此值若記為 a，則線元素可表為

常曲率的曲面可用來做幾何的例證。我們不難看出，常曲率為正的曲面，必可滾貼到半徑為該曲率倒數的球上。 為了了解這種曲面的各種變化，我們取一個球，以及在赤道與球相切的旋轉面。

常曲率比球大的這類曲面，會從球的內部與赤道相切，類似輪胎面的外側； 它們也可以滾貼上半徑較小的球帶，但可能不止一層。曲率比球小，而仍為正的曲面，可由下面的方法得到： 用兩個大半圓切割較大半徑的球面，再把切割線貼合起來。曲率為0的曲面， 是一個在赤道與球相切的圓柱；若曲率為負，則類似輪胎面的內側，在赤道與球外切。 如果把這些曲面看成面塊（pieces of surface）在其中移動的所有可能位置，正如空間是物體的位置一般，則小面塊可在曲面上自由移動而不必伸縮。曲率為正的曲面可以讓面塊自由移動而不必彎曲，如球面，但曲率為負就不行了。除了這種小面塊對位置的獨立性之外，在曲率為0的曲面中，有一種其他曲面沒有的特性，即方向獨立於位置。