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．原載於數學傳播第十二卷第三期
．作者當時任教於美國密西根州立大學
 

關於「Li-Yorke 渾沌」的故事

李天岩

 
 

本文是李天岩教授為日本數學雜誌《數學xxxxx》所寫的中文稿

在科學界，關於渾沌 (Chaos) 現象和奇異吸引子 (Strange Attractor) 的研究領域裡，名氣最大的奇異吸引子大概就是所謂的 Lorentz Attractor 吧。在 Lorentz Attractor 成名的過程中，有一個關鍵性的教授 Allen Feller 的名字卻很少有人知道。

我在美國 University of Maryland 作研究生時，我的 Ph.D. 論文的指導教授 J.A. Yorke 先生所屬的 Institute 是「Institute for Fluid Dynamics and Applied Mathematics」。 （現在的名稱已改成 Institute for Physical Science and Technology）。那個 Institute 所包含的領域非常之廣。比如說，Solid State Physics, Plasma Physics, Chemical Engineering, Applied Mathematics,$\cdots\cdots$ 等等。其中有一個非常奇怪的 program，叫做氣象組 (Meteorology program)，A. Feller 是這個 program 的教授。

大約在1972年時，Feller 教授將 E.N. Lorentz 所寫關於「氣象預測」model 的 4 篇文章交給 Yorke 教授。當時 Feller 教授覺得 Lorentz 的文章太過於理論化、數學化。他們不感興趣。也許我們搞數學的會比較感興趣。那 4 篇文章都是在氣象的期刊上登的。若不是 Feller 教授，我們也許不太可能有機會接觸到它。那段時間，我們讀了那幾篇 Lorentz 寫的文章，覺得很有意思。

在1973年4月中的一天下午，我到 Yorke 教授的辦公室。那時他對我說：「I have a good idea for you!」那時我在做微分方程方面的研究。我以為他所謂的「good idea」是關於微分方程方面的高深 idea。 但是我卻開玩笑地說：「Is your idea good enough for Monthly?」Monthly（編者按：指《American Mathemaical Monthly》）是一個相當普遍的月刊。它就好像日本的《數學xxxxx》一樣，是一般學生都能看懂的淺近雜誌。 它並不刊載非常高深的 idea。（這種學生向老師開玩笑的事，在美國非常普遍，但是在國內好像並不多見。）Yorke 教授聽了我的話後，只是笑了一下。當時他告訴我的 idea 就是後來出名的 Li-Yorke 定理： 對於一個從 R1 到 R1 上的函數 f，我們用 fn(x) 來代表 $f\circ f^{n-1}(x)$。如果對一點 $a\in\mathbf{R^{1}}$，我們有 fk(a)=a 而且 $f^{j}(a)\neq a$, $0\leq j<k$，則我們稱 a 是週期 k 的點。

定理：
假設 f 是從實數空間 R 到實數空間 R 的連續函數。同時假設 f 有一週期 3 的點。則

(a)對任何一個正整數 n，都存在一個週期 n 的點 xn
(b)
  1. 存在一個不可數的子集合 S，對其中的任何兩點 $x\neq y$。我們有

    \begin{displaymath}\liminf_{n\rightarrow\infty}\vert f^{n}(x)-f^{n}(y)\vert=0\end{displaymath}

    以及

    \begin{displaymath}\limsup_{n\rightarrow\infty}\vert f^{n}(x)-f^{n}(y)\vert>0\end{displaymath}

    的性質

  2. 對任一週期點 $p\in\mathbf{R}$ 以及 S 裡的點 x，我們有

    \begin{displaymath}\limsup_{n\rightarrow\infty}\vert f^{n}(x)-f^{n}y\vert\neq0\end{displaymath}

這個 idea 的原始出發點是在 Lorentz 那些文章之中。我聽了這個 idea 之後，馬上感慨的說：「It will be a perfect work for Monthly!」 的確是如此，因為他根本不牽涉高深的語言。一般學生都應看得懂，不是嗎?

大約兩星期後，我就完全證明了這個定理，證明過程中所用到的只是初等微積分裡的「中值定理」，寫的不是太「高深」。我們將它寫好之後，就真的投到 Monthly 去了。 那時那篇文章的 Reference 只有 Lorentz 的那 4 篇文章。

沒想到，沒過多久那篇文章就被 Monthly 退回。他們說，我們這篇文章過於偏向「研究性」，並不適合Monthly這個期刊的讀者。因此，他們建議我們將原稿轉寄其他的期刊。 但是我們若一定要投回Monhly，他們建議我們把它改寫到一般學生都看得懂的地步。

文章退回以後，Yorke 教授還是堅持要寄回 Monthly，因為 Monthly 比較一般化，它的讀者群非常之大。（其實，我真恨不得他能同意我轉寄別的期刊。）當初我們研究這個問題，以及寫這篇文章，只是著迷於它本身的趣味。這和我博士論文的內容根本無關。因此我並沒有花功夫去改它。事實上，我也不知道該怎麼改。於是乎，這篇文章就在我桌上躺了將近一年。

1974年是 University of Maryland 數學系，生物數學的「特殊年」。 在這一年裡，每星期都要請「生物數學」這個領域裡最傑出的學者來校演講。 在5月的第一個星期，他們所邀請的學者是赫赫有名的 Robert May 教授。 他是當時普林斯頓大學生物系的教授。R. May 教授在那一星期中，每一天都給一個演講。 最後一天演講的內容是函數 $f_{r}(x)=rx(1-x)x \; \in [0,1]$, 0<r<4 的 iteration，這個函數在他們生物界的領域裡是一個非常重要的 Model。 通常被稱為「Logistic Model」。

關於這個函數的 iteration，現在已是舉世皆知。但是 R. May 教授當時只是述說了前面一部份較規則的動態。 也就是說，當 r 較小時我們做 xn+1 = rxn(1-xn) 這樣的 iteration，對於「隨意」取得 x0,{xn} 這個數列最後都趨於一個點。但是當 r 慢慢變大，當它超過 3 時，{xn} 這個數列卻走向一對週期二的點。 當 r 再變大，而超過某一個數值時，{xn} 走向一組週期 4 的點。然後，隨 r 的逐漸變大，{xn} 最後會趨近一組週期 2m 的點。但是當 r 大於某個數值後，卻會出現一些「奇怪的現象」。 比方說，對於某些 r 來說 {xn} 最後走向一組週期 5 的點，對於某些 r 來說 {xn} 最後趨近一組週期 6 的點。 對於某些 r 來說 {xn} 在兩個 interval 之間跑來跑去。 尤其當 r=4 時，{xn} 這個數列在 [0,1] 這個區間跑來跑去。 當時，R. May 教授無法解釋這個現象。想像中也許只是計算上的誤差所造成的吧。


xn+1=rxn(1-xn) 的 iteration

在微分方程的理論中，有一個著名的 Poincaré-Bendixson 理論。它大概的意思是說，在 R2 上的微分方程 $\dot{x}=f(x)$，若 f 是很光滑而能保證這個微分方程的解的「存在性」以及「唯一性」時，則從任何一點 x0 出發的解在有限區間裡它的軌跡最後都趨近於一個週期解。這個兩度空間的理論雖然在三度以上的空間裡無法證明，但是大家多多少少都相信，即使在三度以上空間裡的微分方程，從任何初始值 x0 出發的解，它的軌跡最後的變化還是相當「規則」的。比如說，解的軌道最後趨向 almost periodic quasiperiodic 的解等等。若是在計算上，微分方程的解的軌道上出現非常不規則而混亂的現象，常常被認為是計算方式上的問題，或是計算上的誤差。因此而時常埋沒了些開創性的工作。（這種事，不幸在日本發生，下面會談到）。

現在再回頭來看「Logistic Model」的 iteration

xn+1=rxn(1-xn)

r 比較小時，數列 {xn} 最後趨向一組週期點，這是非常規則的變化。 但是當 r 大於某一個數值時，數列 {xn} 出現非常不規則的變化。 若是用 Li-Yorke 定理來解釋，這種不規則的混亂現象並不一定是計算方式的問題， 或是計算上的誤差所導致的結果。事實上這些混亂現象存在於函數它自己本身的特性。

Yorke 教授聽完 R. May 教授的演講後，在送 May 上飛機時， 把在我桌上躺了將近一年的那篇關於 Li-Yorke 定理的文章給他看。 他看了文章的結果後，大為吃驚。他認為這個定理大大的解釋了他的疑問。 Yorke 教授從飛機場回來後，立刻跑來找我說：「我們應該馬上改寫這篇文章。」 文章在兩星期內改寫完成，三個月後 Monthly 接受我們這篇文章， 它登在1975年12月份的 Monthly 上。

R. May 是舉世聞名的教授。那年暑假時，他被邀請到歐洲到處去演講。 Li-Yorke 定理-「週期三則渾沌」，因此大為出名。 Lorentz Attractor 也跟著大為出名。 特別值得一提的是 R. May 教授在來 University of Maryland 之前並不知道所謂的Lorentz Attractor。

所謂「奇異吸引子」(Strange Attractor) 事實上是指一個動力系統的軌跡最後被一個奇異(混亂)的吸引子 (Attractor) 吸去了。 也就是說，我們若追蹤軌跡的路線，最後會趨近於一個混亂的狀態，毫無規則可尋。 上面提過，在二度空間裡的微分方程(一般稱微分方程為微分動力系統。)由於Poincare-Bendixson理論的保證， 這種「奇異」的吸引子不會出現。在 Li-Yorke 定理出現以前，大家多半相信即使在三維以上的空間裡， 不受「噪音」(noise)影響的微分動力系統，它的解的軌跡的長期路徑多多少少追隨一些規律。但是當 Li-Yorke 定理出現以後， 大家不再迷信這個定理。首先的一個例子，就是 Lorentz Attractor（它是三維空間裡的微分動力系統）。 後來大家發現「奇異吸引子」到處都是，各個領域都有。這個混亂的現象，不是人為計算上的錯誤或誤差所造成的。 而是「神的旨意」。

我來日本以後才知道，其實在1960年初期， 京都大學工學院電機系的教授上田睆亮先生(當時他還是研究生)就已經在研究Duffing Equation

\begin{displaymath}\ddot{x}+r\dot{x}+x^{3}=B\cos{t}\end{displaymath}

時，發現這種混亂的現象。這個微分方程在許多數學部門的發展史上佔有相當的地位。 數學家對它的研究總有七、八十年的歷史了吧。當時，上田睆亮發現， 對於某些參數 k,B 而言（比如說 k=0.05,B=7.5）這個微分方程的解， 所走的軌跡當 t 很大時，它會亂七八糟的亂走一通，毫無規律可尋。 這是以前從沒有發現的事。 因此那時不管是數學家或是工學院的教授沒有人相信他所得到的結果。 大家都認為，這只是他自己計算上的錯誤。 他當時連文章該往何處投都不知道，因為沒有人會慎重考慮他的結果。 但是，自從一般人慢慢都能接受「奇異吸引子」的概念以後， 大家才開始相信上田睆亮教授關於 Duffing Equation 的研究結果。 1978年暑假，法國的名教授 D. Ruelle 來日本訪問，那時他才知道上田先生的結果。 Ruelle 後來到世界各地張揚。所謂上田吸引子 (Ueda Attractor)， 日本吸引子 (Japanese Attractor) 才聞名於世。 遺憾的是，頭彩已被 E.N. Lorentz 搶去了。

我也是來到日本以後才知道，研究所謂「應用數學」的專家在日本數學界的「社會地位」非常之低。這個世界上其他國家裡，是少有的現象。在世界各地，研究「渾沌現象」和「奇異吸引子」的學者大多數是應用數學界的人士。這個領域現在非常熱門，研究的人非常之多。但是在日本，這方面的研究都不是「數學界」的人士在做。日本數學界的人士，很少有人知道什麼是「日本吸引子」。這在我看來是非常奇怪的事。

我覺得所謂的「應用數學」，應該是首先設法了解自然界上的一些現象和問題。好比說，想想為什麼頻果會從樹上掉到牛頓的頭上，然後找出這些現象在數學上的正確描述，以及解決這些問題的方法。然後把這些現象的描述，以及解決這些問題的方法理論化，希望同時能解決一些類似的問題。理論化之後，若是遇到這個理論不能解決的問題，則要更進一步，設法推廣原有的理論。這比躲在象牙塔裡做些莫名其妙的抽象工作要有意思多了，我想。

 
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編輯：許明吉 ／ 校對：黃怡碧 ／ 繪圖：簡立欣 最後修改日期：4/26/2002