凸函數之初等證明

．原載於數學傳播第四卷第三期
．作者當時任教於政大應用數學系

凸函數之初等證明

夏文侯

茲定義凸函數如下：

設 f 之定義域為 D，且 f 適合

$\begin{displaymath} f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})\geq\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\eqno (1) \end{displaymath}$

則稱 f 為凸函數。嚴格一點，(1)中之等號應該刪去，但等號不刪去，比較方便些，讀者可仿此定義凹函數，今用初等方法，即高中數學中已知之方法，證明凸函數於次：

[1] f(x)=1-x², $x\in D=[0,1]$ ，設 x₁,x₂,…, $x_n\in D$ ，先證明

$\begin{displaymath} \frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}\geq(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})^2\eqno (a) \end{displaymath}$

因

$\begin{eqnarray*} && (x_1+x_2+\cdots+x_n)^2 \\ &=& x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2+2\... ...x_2^2+\cdots+x_n^2+2\sum_{i,j=1\atop i\neq j,i>j}^n(x_i^2+x_j^2) \end{eqnarray*}$

且在 $\sum x_ix_j$ 中，含x₁ 者有 n-1 項，故 $\sum (x_i^2+x_i^2)$ 中有 n-1 個 x₁²，同理 x₂²,x₃²,…,x_n² 亦各有 n-1 個，因而得

$\begin{displaymath} (x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\leq n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2) \end{displaymath}$

以 n² 除之即得(a)，由(a)得

$\begin{eqnarray*} f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}) &=& 1-(\frac{x_1+x_2+\cdots+x... ...cdots+1-x_n^2}{n} \\ &=& \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} \end{eqnarray*}$

此函數 f 能適合(1)，故為凸函數。

[2] $f(x)=\sin x$ , $x\in D=[0,\pi]$
在公式 $\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B$ 中，令 A+B=x₁，A-B=x₂ 則

$\begin{displaymath} A=\frac{1}{2}(x_1+x_2) \;\; , \;\; B=\frac{1}{2}(x_1-x_2) \end{displaymath}$

於是得 $\sin x_{1} + \sin x_{2} = 2\sin\frac{1}{2}(x_1+x_2)\cos\frac{1}{2}(x_1-x_2)$
取 $x_1, x_2 \in D$ ，則

$\begin{displaymath} -\frac{\pi}{2}\leq\frac{x_1-x_2}{2}\leq\frac{\pi}{2} \end{displaymath}$

所以，

$\begin{displaymath}0\leq\cos\frac{x_1-x_2}{2}\leq 1 \end{displaymath}$

故

$\begin{displaymath} \frac{\sin x_1+\sin x_2}{2}\leq\sin \frac{x_1+x_2}{2} \end{displaymath}$

同理

$\begin{displaymath} \frac{\sin x_3+\sin x_4}{2}\leq\sin \frac{x_3+x_4}{2}\quad(x_3,x_4\in C) \end{displaymath}$

而

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \frac{\sin x_1+\sin x_2+\sin x_3+\sin x_4}{2} } \\ ... ..._2}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}) \\ &=& \sin\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} \end{eqnarray*}$

今設對 2^p-1 個數為真，即

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x_1+\sin x_2+\cdots+\sin x_q}{q} & \leq & \sin\fra... ...x_{2q}}{q} & \leq & \sin\frac{x_{q+1}+x_{q+2}+\cdots+x_{2q}}{q} \end{eqnarray*}$

式中 q=2^p-1, $x_i\in D$ , $(i=1,2,\cdots ,2q)$ 則因

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2q}\sum_{i=1}^{2q}\sin x_i &=& \frac{1}{2} \Big[ \fr... ...{i=q+1}^{2q} x_i ) \\ &=& \sin(\frac{1}{2q}\sum_{i=1}^{2q}x_i) \end{eqnarray*}$

故對 2q=2^p 亦真，由數學歸納法可知；p 為任何正整數時皆真。換言之，設 $p\in N$ ，且 m=2^p，則下面的不等式恒成立：

$\begin{displaymath} \frac{\sin x_1+\sin x_2+\cdots+\sin x_m}{m} \leq\sin\frac{x_1+x_2+\cdots+x_m}{m} \eqno{(b)} \end{displaymath}$

對任一正整數 n，若 n 為 2 之乘冪數，則由(b)知其適合(1)；若 n 不為 2 之乘羃數，可取 p 使

2^p>n>2^p-1

再取適宜之正整數 r 可得

m=2^p=n+p

在(b)中，只要 $x_i\in D$ ，就能成立，今取

$\begin{displaymath} x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots=x_{n+r}=X \end{displaymath}$

此 X 乃 x₁,x₂,…,x_n 之算術平均數，即

$\begin{displaymath} X=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n) \in D \end{displaymath}$

帶入(b)，則其左邊為

$\begin{displaymath} \frac{\sin x_1+\sin x_2+\cdots+\sin x_n+r\sin X}{n+r} \end{displaymath}$

而其右邊為

$\begin{eqnarray*} \sin\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n+rX}{n+r} &=& \sin\frac{nX+rX}{n+r} \\ &=& \sin X \end{eqnarray*}$

故得

$\begin{displaymath} \sin x_1+\sin x_2+\cdots+\sin x_n+r\sin X\leq(n+r)\sin X \end{displaymath}$

即

$\begin{displaymath} \frac{\sin x_1+\sin x_2+\cdots+\sin x_n}{n}\leq\sin X=\sin\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \end{displaymath}$

此乃表示正弦函數 $\sin$ 在 D 能適合(1)，故為凸函數。

[3] $f(x)=\ln x$ , $x\in D=[1,2]$ （ $\ln=\log_e$ ，為自然對數函數）
設 $x_1, x_2 \in D$ 則因

$\begin{displaymath} \frac{x_1+x_2}{2}\geq\sqrt{x_1x_2} \end{displaymath}$

故

$\begin{displaymath} \ln\frac{x_1+x_2}{2}\geq\ln\sqrt{x_1x_2}=\frac{1}{2}(\ln x_1+\ln x_2) \end{displaymath}$

同理

$\begin{displaymath} \ln \frac{x_3+x_4}{2}\geq \frac{1}{2}(\ln x_3+\ln x_4),\quad (x_3,x_4\in D) \end{displaymath}$

而

$\begin{eqnarray*} \ln\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} &=& \ln\frac{1}{2}(\frac{x_1+x_2... ...+\ln x_4}{2}) \\ &=& \frac{\ln x_1+\ln x_2+\ln x_3+\ln x_4}{4} \end{eqnarray*}$

仿 [2] 可知，若 m 為 2 之乘羃數，則

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \ln\frac{x_1+x_2+\cdots+x_m}{m} & \geq \fra... ... & \quad (x_i\in D, \; i=1,2,\cdots,m) \end{eqalign}\eqno{(c)} \end{displaymath}$

對任一正整數 n，若 n 為 2 之乘羃數，則由(c)知其適合(1)；若 n 不為 2 之乘羃數，可取

m=n+r

且在(c)中取

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} &=& x_{n+2}=\cdots=x_{n+r} \\ &=& X=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n) \end{eqnarray*}$

則得

$\begin{displaymath} \ln\frac{nX+rX}{n+r}\geq\frac{\ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n+r\ln X}{n+r} \end{displaymath}$

即

$\begin{displaymath} (n+r)\ln X\geq\ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n+r\ln X \end{displaymath}$

因此

$\begin{displaymath} \ln X\geq\frac{\ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n}{n} \end{displaymath}$

故自然對數函數 $\ln$ 能適合(1)，確為凸函數。

上面共舉出三個例題，以示凸函數之證明方法，當然，凸函數很多，不祇此三個，希望讀者能自舉例題而自證之。對於凹函數亦然。問下列各函數何者為凸？何者為凹？

$f(x)=\cos x$ , $x\in [-\pi,\pi]$
$f(x)=\cos x$ , $x\in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$
$f(x)=\sin x$ , $x\in[\pi,2\pi]$
f(x)=x², $x\in R$

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編輯：黃信元

最後修改日期：5/2/2002