.原載於數學傳播第三卷第三期 .作者當時任職於中央研究院數學所 | |||
拉普拉斯,費雪以及充分統計量的發現
黃文濤 |
我們研究某一個母體,例如甲廠牌電視機的壽命,常設定有一個分佈函數,而這分佈函數就是在說明該廠牌出品的某一電視機其壽命(發生故障以前)大於某一段時間的機率。一般而言,這個分佈函數常帶有一個或數個未知參數。所以想瞭解該廠產品的壽命情況,勢必要設法去估計這些未知參數。由取樣(即記錄一些該廠出品電視機的壽命)來估計這些未知參數的問題,稱為統計估計問題,這在統計學上已成為一個專門研究的支系。那麼這些樣本值,如何處理,如何「過濾」,才會濾去不必要而留下那些真正與參數有關的資料,而且在處理或「過濾」過程中,不要遺漏了任何與參數有關的資訊。這就牽涉到充分統計量的概念。諸樣本值的(可測)函數而不帶任何未知量的稱為統計量。若諸隨機樣本的聯合機率函數,在某一統計量給定下之條件機率與某些參數(設稱為乙)無關時,則稱該統計量為這些乙參數之充分統計量。例如甲廠牌出品的電視機壽命一般視為服從指數分佈律,則其諸樣本的算術均數即為該廠牌「所有」產品的平均壽命(即該指數分佈的期望值)的充分統計量,而諸樣本和也是,所以充分統計量並非唯一。 英國著名統計學家 (R.A. Fisher) 在1920年的一篇論文中首先指出了充分統計量的概念,而這個「充分統計量」的名詞卻要到1922年的論文〈On the mathematical foundation of theoretical Statistics〉(論理論統計的數學基礎)才正式出現。實際上,《Nature》雜誌在1921年11月24日出版的摘要中首先出現。
英國天文學家艾靈頓 (A.S. Eddington) 在1914年出版的《星球運動和宇宙結構》一書中提到,對於估計一些觀測值的差誤,取其均值之差量的絕對值和 (
費雪同時也發覺到, 故事到此還不能結束,因為比費雪早一百多年,大數學家拉普拉斯 (P.S. de Laplace) 已作過了類似的研究。但這件事費雪似乎沒有注意到,因為在他的文章中,未提到拉氏的〈機率的解析理論第二增補篇〉(Deuxieme supplement a la Theorie Analytique des Probabilites)。這在1818年出版的增補篇裡,拉氏考慮了這樣一個問題(目前所謂的線性迴歸):
有 n 個聯立方程式
![]() 其中 pi,ai 為已知,y 與 xi 為未知,而 xi 表觀測時的差誤,問題是如何估計 y 值。
在早期的著作中,他已討論過最小平方法,當時他稱之為「最有利方法」,而在這增補篇他討論另一個方法,稱為「情況法」(method of situation)。這是1757年由波斯柯維區 (Boscovich) 首先介紹的。其實這個方法在拉氏1799年出版的《天體力學》一書中已經提到。方法是這樣的,找出某 y 值使下面(1)式值為最小,
若 ![]() 而 r 滿足 ![]() 和 ![]() 時,那麼
![]() 拉氏假設觀測誤差 xi 值依密度函數 ![]() ![]() ![]() ![]() 之常態分佈。他也導出了 yLs 之極限分佈,而且發覺,假如而且只有 ![]() yMs 比 yLs 優越(極限變異數較小)。他也注意到了 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 此處 C 為常數. ![]() 顯然,這就是均值為 ![]() 互變異矩陣為 ![]() 的二維常態分佈。利用這結果,他想找 α 使得 ![]() 之極限變異數為最小,他算出其值為 ![]() 所以只要 ![]() 那麼 yLs 還可以改良,只要減去 ![]() 當然,拉氏應該注意到只要 ![]() ![]() 這就是說,只要 ![]() 這樣一個統計學史上的故事,或許可以提供讀者一個印象,那就是對於一個具體的現象,或者數個看似無關的的個別現象,能夠抽離出或歸納出一個新的,更高層面的概念或體系,這種敏銳的洞察和歸納能力在科學工作上甚或思疇範圍內是及其重要且必須的,將原來的層面提升到更高的不同性質的層面,才在事物發展過程中具有進步的意義,然而這種提昇不可能憑空而來的,正如前所敘,經過皮爾遜等人工作的累積,才有費雪作抽象的提昇。拉氏在這方面的工作雖然展示了他那超越常人的蓬勃的創力才華,但是在向更高層面的突破跨越上,他並沒有成功,然而他的工作並非白費,他立下了很好的起點,導引了後人的提昇。
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編輯:鄧惠文 | 最後修改日期:9/9/2002 |