鴿籠原理有一種更廣義的形式，那就是組合學上有廣泛應用的蘭姆西 (Ramsey) 定理，定理敘述前先看一個特例。

一群人，人數大於等於 6，必然有三知友兩兩彼此認識或有三新鮮人兩兩彼此都不認識。以下就是證明。

任取一人名之為 A，其他人，人數至少為 5，可分為二類。 與 A 認識者為一類，與 A 不認識者為另一類，由鴿籠原理， 必有一類人數大於等於 3。 令此三人之名為 B、C、D。 若 B、C、D 皆與 A 認識 且其中有二人彼此相識，則 A 及此二人為三知友， 不然 B、C、D，兩兩不認識則 B、C、D 為三新鮮人； 若 B、C、D 皆與 A 不認識且其中有二人彼比不相識， 則 A 與此二人為三新鮮人，不然 B、C、D 中兩兩互相認識則 B、C、D 為三知友。無論有三知友或三新鮮人，結論都是對的。

6 是滿足上述性質最小整數，它有特殊的意義，我們記為 N(3,3;2) = 6， 表示「一群人 S，人數未知。但 S 中任 2 人的關係分為兩類，且知道 S 中有一小群人 T，T 人數為 3 而 T 中所有 2 人的關係都屬於同一類，則 S 的人數至少為 6」。圖二中頂點 A、B、C、D、E 代表五人，其二人之關係分為實線相連的與虛線相連的兩類。 很容易看出任意三人其所有 2 人的關係不可能屬於同一類。

圖二

為敘述方便，集合 S 的子集 T 若具有 l 個元素我們稱 T 為 S 的 l-子集。蘭姆西定理是說

蘭姆西定理：
將 S 中 l-子集分為 S₁,S₂,…, S_t 等互不相交之 t 類，任意給定不小於 l 之 t 個整數 q₁,q₂,…,q_t，一定可以找到一個最小整數 ，只要 S 的元素個數 ，S 中必定有子集 T，其元素個數為某一 q_k 且所有 T 之 l-子集都屬於 S_k。

當 l=2, t=2, q₁ = q₂ = 3 時 N(q₁,q₂;l) = 6 即為上一節所舉的例子。當 l=1 時

蘭姆西定理可以說是將鴿籠原理從裝 1-子集的籠子推廣到裝一般 l-子集的籠子。 稱為蘭姆西數， 一般情形蘭姆西數並不能寫成 q₁, q₂,…,q_t 及 t 的整齊形式，這也是此定理難說、難懂的原因。 蘭姆西數由定理可知是確定存在的，但到底為何數，所知極少。譬如

為了使讀者對蘭姆西定理有比較具體的形象，我們用以下不太精確的語言再加說明。 考慮 l=20，q₁=50，q₂=10 的情形。 定理告訴我們蘭姆西數 N(50,100;20) 存在， 但 N(50,100;20) 確為何數並不知道，姑且當它為1000好了。 S 是一個點數大於或等於1000的集合， 將 S 中所有20點的集合分為黑與白兩類。 那麼，S 中一定有一個子集 T 滿足下列二條件之一：

(1) T 共有50點且 T 之所有20點的子集（此種子集的個數有 個）都是黑的。

(2) T 共有100點且 T 之所有20點的子集（此種子集的個數有 個）都是白的。

平面上四點，雖無三點共線，但不一定構成凸四邊形，然而點數超過四點必定其中有四點構成凸四邊形。我們將在此給予更一般性的證明作為蘭姆西定理應用之一例。

定理 對任意 的整數，可找到正整數 N(m)。 若 ，平面上無三點共線的任意 n 點中必定有 m 點構成凸 m 邊形。

借用兩個事實作為引理。

引理1： 平面上有五點，其中任意三點不共線，則五點中必有四點構成凸四邊形。

引理2： 平面上有 m 點，其中任意三點不共線，但任意四點構成凸四邊形， 則此 m 點構成凸 m 邊形。

定理的證明如下：

將平面上所有四點的集合分為兩類 S₁ 及 S₂。四點構成凸四邊形者屬於 S₁；四點構成凹四邊形者屬於 S₂。 設定 q₁ = m，q₂ = 5 及 l=4，則蘭姆西數 N(m,5;4) 存在。 令 N(m) = N(m,5;4)。 若 ，平面上 n 點的集合 S，其中無三點共線者必含有一子集 T 滿足(i) T 具有 m 點且 T 之任四點構成凸四邊形，或滿足(ii) T 具有 5 點且 T 之任四點構成凹四邊形。但由引理 1， (ii)之發生為不可能，故 T 滿足(i)。由引理 2 得知 T 構成凸 m 邊形，定理得證。

N(m) 之存在已證明確定，但 N(m) 確為何數與蘭姆西數一樣所知無幾。 例如 N(4)=5, N(5)=9 但 就不知道了。 有人猜測 N(m)= 2^m-2 +1 ，對此至今尚無證明或反證。

圖形學(Graph theory) 是組合理論很重要的一分支。 很多非連續模型 (Discrete model) 都可用圖形 (graph) 來描述。 所謂的圖形是指一個有限集合 V 及 V 中之一些 2-子集 E。V 中之元素稱為點， E 中之元素稱為線。普通記為 G= (V,E)，稱 G 為一圖形 (graph)。 若 (x,y) 為 E 中元素，則稱點 x 與點 y 相鄰或點 x 與點 y 有關聯。 以下圖三都是圖形簡單的例子。圖三中以「•」代表屬於 V 之點， 兩點間若有線相連則此兩點構成的 2-子集屬於 E。

圖三

結構最簡單的圖形為 E 等於空集合或 E 等於所有 V 之 2-子集。 前者稱為無趣圖形，後者稱為完整圖形。 完整圖形之點數有 p 個時稱該圖形為 p 階完整圖形， 記為 K_p 圖三中前三個圖形各為2階，3階，4階的完整圖形。 對任一圖形 G=(V,E)，我們可以考慮其互補圖形 ， 此中，V' = V 及 E' = 所有 V 之 2-子集扣除 E。 圖三中最後兩個圖形互補。

給定一個圖形 G=(V,E)，很自然將 V 之所有 2-子集分為二類 S₁ = E。 及 S₂ = X-E。p 及 q 為不小於 2 之整數。若 G 之點數 n N(p,q;2) 時，V 中有子集 T 滿足 (i) T有 p 點且T之所有 2-子集屬於 S₁， 或滿足(ii) T 有 q 點且 T 之所有 2-子集屬於 S₂。換言之，

(i) 發生時 T 為 K_p；

(ii) 發生時 為 K_q。

因此蘭姆西定理以圖形學之觀點是說：

「對任意給定不小於 2 之整數 p 及 q 必有一正整數 N(p,q;2) 存在。 任意圖形 G，只要其點數 ，必然 G 包含 K_p 或 包含 K_q。」

例如，知道 N(3,6;2)=18。這表示點數 17 以上的圖形必然有 3 點，兩兩有線相連；或有 6 點，兩兩無線相連。