黃武雄

一、早期的貢獻 二、微分與積分 三、求積問題發展中的前兩個時期 四、動態處理的基礎 五、用微分法求積 六、求積問題的歷史意義

很多人望文生義，說是積分求得了面積，其實積分的概念人類老早就有了，而求面積求體積的一般方法卻遲至十七世紀才出現，明白「微積分基本定理」的人會說：是微分求得了面積。

一、早期的貢獻

人類很早就碰到了求面積求體積的問題（以下通稱求積問題），由於求積問題是來自實際生活的需要，地球上各民族，都不約而同，對它做過一定程度的貢獻。這些貢獻廣泛散見於各地留存的古籍。記載顯示，各民族都知道利用較簡單的圖形，例如多邊形或小長方形的聯集等，來逼近（或稱窮盡）一塊較複雜的面積。如果說這一想法便是積分的概念 ^註1 ，那麼我們大可以放心地說，人類老早就從概念上認識了積分。

在中國，三國時魏人劉徽為求圓周率的近似值（西元263年），已經利用過三千零七十二邊的內接正多邊形來逼近圓的面積 ^註2 。 九章算術經載震再校訂的版本中，仍存有劉徽的弧田圖。（見圖一）劉徽改編過《九章算術》 ^註3 ，並著有《海島算經》。當時他計算出來的圓周率精確到 3.14159，概念上雖亦建立在積分上面，但所需的方法則遠為複雜。可以想見中國人在三國以前，對於積分這個表面十分摩登的概念，一定已經知道一段時侯了。

圖一、戴震的《九章算術》校定版中插圖之一。它說劉徽用以計算π的窮盡法（西元264年）。

對於積分概念的運用，劉徽的成就當然不是一項孤立的事實，在他之前有東漢張衡（約公元130年左右）。同時代有三國吳人王蕃，其後更有晉祖沖之（公元430∼501），趙友欽（公元1300年左右）。宋人沈括所著《夢溪筆談》（公元1086）中亦曾提過「割會之術」、「再割」、「造微之術」、「隙積」等語。而明周述學（公元1558）所著《神道大編曆宗算會》一書中，也錄有三角錐內堆積十層彈丸的附圖。

在日本十七世紀的數學家對積分概念也有進一步的貢獻，村松茂清（公元1683年歿）將球體切成許多平行的薄片，每片都近似於一段扁圓柱，藉此求得球體體積的近似值，其後野澤（約在1664年）再行切薄，而澤口一元（約1670年）在其所著《古今算法紀》一書中，亦用同樣想法求出圓面積。（見圖二）

圖二、Smith & Mikami（三上義夫）,《A Histoty of Japanese Mathematics》(1914)，第130頁所附的1687年《改算記綱目》插圖）

在西方，由於希臘文明（不專指雅典文化）保存較為完妥，積分概念的起源，可以遠溯到公元前三世紀 Eudoxus（408∼355 B.C.）在窮盡法 (Method of Exhaustion) 上面的啟蒙工作。Eudoxus 是柏拉圖的弟子，曾認識到，給定兩數，自第一數扣除其本身之半（或大於其半的部份），再自所餘扣除所餘之半，將此重複進行，經有限次扣除之後，所餘可小於第二數。這個性質後人稱它為 Archimedes 性質 (Archimedes Principle) 是因窮盡法來到 Archimedes（公元前287∼212）才有了較有意思的體現。Archimedes是西西里島Syracuse人，他先用多角形逼近一個圓，而後以圓的某一取定的直徑為軸，將整個圖形迴轉，來求得球面面積。說明了直徑為 R 的球面面積正好就是半徑為 R 的圓的面積。（例如半徑為單位長的球面面積等於 。）事實上，早些時侯，Euclid（約公元前300年左右）也用過窮盡法證得圓的面積與半徑平方成正比。

如果用心比較早期中西數學發展的差異，可以看清中國人的數學側重「量的數學」，希臘人的數學（假設用它來代表早期西方數學的話）則偏於「質的數學」。同樣都基於所謂「積分」的概念（或說「窮盡法」），中國人花費心力在找些實際的數值（如圓周率），希臘人則日夕在追求各種量與量間相等或大小的關係。

但不論其間差異如何，人類早在兩千多年前，便從概念上認識了「積分」。這是一個不爭的事實。