項武義

圓柱截線和圓錐截線 圓錐截線的光學性質 圓錐截線和二次曲線 坐標變換和不變量 五點定一「二次曲線」和六點共在一「二次曲線」的條件 Pascal 定理和 Pappus 定理 Kepler 行星三定律 由 Kepler 定律到牛頓萬有引力定律 圓錐截線例題，極與極線

在現代的中學數學課程中，通常是在初等解析幾何中學到圓錐截線，亦即橢圓、雙曲線和拋物線。圓錐截線的發現和研究起始于古希臘。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等幾何學大師都熱衷于圓錐截線的研究，而且都有專著論述其幾何性質，其中以 Apollonius 所著的八冊《圓錐截線論》集其大成，可以說是古希臘幾何學一個登峰造極的精擘之作。當時對于這種既簡樸又完美的曲線的研究，乃是純粹從幾何學的觀點，研討和圓密切相關的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當年這是一種純理念的探索，並不寄望也無從預期它們會真的在大自然的基本結構中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀之交，Kepler 行星運行三定律的發現才知道行星繞太陽運行的軌道，乃是一種以太陽為其一焦點的橢圓。Kepler 三定律乃是近代科學開天劈地的重大突破，它不但開創了天文學的新紀元，而且也是牛頓萬有引力定律的根源所在。由此可見，圓錐截線不單單是幾何學家所愛好的精簡事物，它們也是大自然的基本規律中所自然選用的精要之一。

在本章將以圓錐截線的來龍去脈為中心課題，簡明扼要地敘述這一段由古希臘幾何學到牛頓天體力學引人入勝、發人深思的篇章。

圓柱截線和圓錐截線

常見的一段竹桿，大體上是一個圓柱。它的正切截線是一個圓，但是其斜切截線則不再是圓的，這也許就是「橢圓」的一種自然出處。圓的幾何特性乃是它有一個圓心，和其上各點等距；自然會問這種由斜截圓柱所得的「橢圓」是否也具有類似的幾何特性呢？古希臘幾何學家在上述問題的探討中獲得令人鼓舞的簡潔答案，亦即一個橢圓具有兩個焦點 F₁, F₂ 使得其上任給一點到兩者的距離之和為一定長（其實，這也就是通常在初等解析幾何中橢圓的定義），我們用 [圖 8-1] 來解說當年對于這種圓柱截線的基本特性的証法。設 Γ 是一個半徑為 R 的圓柱面和一個斜截平面 Π 的交集，我們可以用兩個半徑為 R 的球面 , 由上、下兩端，沿著柱面向截面 Π 滑動，一直到分別和 Π 相切于 F₁, F₂ 的位置（如 [圖 8-1] 所示）。

令 , 分別是上、下球面 , 和柱面相切的圓。設 P 是橢圓 Γ 上任給一點， 是柱面上過 P 點的那一條直線段， , 。則有

後來又發現上述簡潔精擘的証明其實可以稍加推廣，亦即把圓柱面更換成圓錐面依然成立，如 [圖 8-2] 所示。

再者，如 [圖 8-3] 所示，平面和圓錐面的交截還可以產生另外兩種曲線，亦即現在叫做雙曲線和拋物線者也。如 [圖 8-4]、[圖 8-5] 所示，雙曲線也有兩個焦點，而拋物線則只有一個焦點，而且也可以用類似的幾何論証，証明雙曲線和拋物線的幾何特性分別如下，即：