六、座標解析幾何簡介 (第 2 頁)

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《基礎幾何學》

六、座標解析幾何簡介（第 2 頁）

項武義

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．作者任教於香港科技大學數學系
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直線和圓，平面和球

直線與圓是平面上最為精簡的一維子集，而平面與球則是空間中最為精簡的二維子集。在解析幾何中它們都可以用一個簡單的方程式去刻劃之。

【定理 6.1】：在平面上（或空間內）一條直線（或一個平面）的點的坐標滿足一個 {x,y}（或 {x,y,z}）的一次方程式。反之，任給一個二元（或三元）一次方程式的所有「解點」構成的子集乃是 (x,y)-平面上（或 (x,y,z)-空間內）的一條直線（或一個平面）。

証明：設 P₀(x₀,y₀)（或 P₀(x₀,y₀,z₀)）是直線 $\ell$ （或平面 Π）的取定一點，而 P(x,y)（或 P(x,y,z)）則是 $\ell$ （或 Π）上的任意點。再者，如 [圖 6-3] 所示，令 ${\bf a}=(a,b)$ （或 ${\bf a}=(a,b,c)$ ）是平面上（或空間內）和 $\ell$ （或 Π）垂直的向量：

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfysize=2cm \epsfbox{fig0603a.eps}}*\f... ...{\ell} ,(4.2,2.2)*+{P(x,y)} ,(1.65,5.4)*+{{\bf a}=(a,b)} \endxy\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfysize=2.5cm \epsfbox{fig0603b.eps}}*... ...Pi} ,(3.6,2.5)*+{P(x,y,z)} ,(2.5,5.5)*+{{\bf a}=(a,b,c)} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 6-3 ]

則有

$\begin{eqnarray*} 0&=&{\bf a}\cdot \overrightarrow{P_0P}=a(x-x_0)+b(y-y_0) \\ \... ...\cdot \overrightarrow{P_0P}=a(x-x_0) +b(y-y_0)+c(z-z_0)\mbox{)} \end{eqnarray*}$

亦即 $P(x,y)\in \ell$ （或 $P(x,y,z)\in \Pi$ ）乃是上述二元（或三元）一次方程的「解點子集」。

反之，設 S（或 S^*）分別是下述二元（或三元）一次方程的解點子集，即

$\begin{eqnarray*} && ax+by+c=0 \\ \mbox{({\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH67}} &&ax+by+cz+d=0\mbox{)} \end{eqnarray*}$

令 P₀(x₀,y₀)（或 P₀(x₀,y₀,z₀)）是 S（或 S^*）中取定一點而 P(x,y)（或 P(x,y,z)）則是 S（或 S^*）中任意一點，則有

$\begin{eqnarray*} ax+by+c=0 &\;\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont... ...\fontseries{m}\selectfont \cH184}}\;& ax_0+by_0+cz_0+d=0\mbox{)} \end{eqnarray*}$

兩者相減，即得

$\begin{eqnarray*} &&a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 \;\Leftrightarrow \; (a,b)\perp \overrig... ...\; \Leftrightarrow \; (a,b,c)\perp\overrightarrow{P_0P}\mbox{)} \end{eqnarray*}$

由此可見 S（或 S^*）乃是平面上（或空間中）過 P₀ 點而且和向量 ${\bf a}=(a,b)$ （或 ${\bf a}=(a,b,c)$ ）垂直的那條直線（或那個平面）是也。 □

[註]：上述論証中所建立的直線（或平面）和二元（或三元）一次方程式之間的相互對應，顯示了方程式中變元的系數組（亦即 (a,b) 或 (a,b,c)）乃是直線（或平面）的一個法向量的分量。一條直線（或一個平面）在平面上（或空間中）的所有非零法向量之間只差一個 k-倍。由此可見，一條直線（或一個平面）所對應的二元（或三元）一次方程式之間，也只差一個 k-倍。

【定理 6.2】（點、線或點、面的距離公式）：設 P₁(x₁,y₁)（或 P₁(x₁,y₁,z₁)）是平面上（或空間內）給定一點，而 $\ell$ （或 Π）則是以

$\begin{eqnarray*} && ax+by+c=0 \\ \mbox{({\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH67}} &&ax+by+cz+d=0\mbox{)} \end{eqnarray*}$

為其方程的直線（或平面），則有下述距離公式：

$\begin{eqnarray*} d(P_1,\ell) &=& \left\vert\frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\r... ...\left\vert\frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right\vert \end{eqnarray*}$

証明：如 [圖 6-4] 所示

$\begin{displaymath}\pm\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b)\quad \mbox{({\fontfamily{cwM... ...nt \cH67}}\;\; \pm\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)\mbox{)} \end{displaymath}$

乃是 $\ell$ （或 Π）的兩個單位長法向量 ${\bf n}$ 和 ${\bf n}'$ ，而 P₀ 則是其上任取一點

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfysize=3cm \epsfbox{fig0604a.eps}}*\f... ...\bf n}} ,(2.65,-0.25)*+{{\bf n}'} ,(2.5,-1)*+{\mbox{\ }} \endxy\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfysize=4cm \epsfbox{fig0604b.eps}}*\f... ...(3.55,0.7)*+{d} ,(2.7,5.2)*+{{\bf n}} ,(2,1)*+{{\bf n}'} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 6-4 ]

則有

$\begin{displaymath} d(P_1,\ell)\;\mbox{ {\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectf... ...nt \cH67} }\;{\bf n}'\cdot \overrightarrow{P_0P_1} \eqno \Box \end{displaymath}$

【習題】：

(1): 試寫下過平面上（相異）兩點 P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂) 的直線的方程式。
(2): 試寫下過空間中（不共線）三點 P₁(x₁,y₁,z₁), P₂(x₂,y₂,z₂), P₃(x₃,y₃,z₃) 的平面的方程式。
(3): 試寫下過平面上一點 P₀(x₀,y₀) 並垂直于向量 ${\bf n}=(a,b)$ 的直線的方程式。
(4): 試寫下過空間中一點 P₀(x₀,y₀,z₀) 並垂直于向量 ${\bf n}=(a,b,c)$ 的平面的方程式。
(5): 試寫下兩條直線的兩條交角平分線的方程式。
(6): 試寫下兩個平面的兩個兩面角平分面的方程式。
(7): 問在平面上兩線（或空間中兩面）平行的條件為何？

【定理 6.3】：平面上（或空間中）以 P₀(x₀,y₀)（或 P₀(x₀,y₀,z₀)）為圓心（或球心）以 R 為半徑的圓（或球）的方程式如下，即

$\begin{eqnarray*} &&(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 \\ \mbox{({\fontfamily{cwM1}\fontse... ...\selectfont \cH67}}&& (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2 \mbox{)} \end{eqnarray*}$

証明：是距離公式和圓與球的定義的直接推論。 □

【推論】：平面上（或空間中）一個圓（或球）所相應的方程式皆可寫成下述形式，即

$\begin{eqnarray*} &&k[x^2+y^2+2Dx+2Ey+F]=0 \\ \mbox{({\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH67}}&&k[x^2+y^2+z^2+2Dx+2Ey+2Fz+G]=0\mbox{)} \end{eqnarray*}$

其中 D²+E²-F（或 D²+E²+F²-G）乃是其半徑之平方，所以必須非負。反之，任給滿足 $D^2+E^2-F\geq 0$ （或 $D^2+E^2+F^2-G\geq 0$ ）的上述二元（或三元）二次方程式的解點子集乃是一個圓（或球）。

証明：令 (x₀,y₀)=(-D,-E)（或 (x₀,y₀,z₀)=(-D,-E,-F)），則易見上述二元（或三元）二次方程式可以改寫成：

$\begin{eqnarray*} &&k[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-(D^2+E^2-F)]=0 \\ \mbox{({\fontfamily... ...7}}&&k[((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2-(D^2+E^2+F^2-G)]=0\mbox{)} \end{eqnarray*}$

□

【引理】：設 $\Gamma_i:x^2+y^2+2D_ix+2E_iy+F_i=0$ , i=1,2，則 $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ 互相正交的充要條件是其系數滿足下列條件：

2(D₁D₂+E₁E₂)-(F₁+F₂)=0

証明：由上面[推論]易見 $\Gamma_i$ , i=1,2, 的圓心 O_i 的坐標為 (-D_i,-E_i)；而其半徑平方則為 r_i²=D_i²+E_i²-F_i。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0605.eps}}*\fr... ....5)*+{r_2} ,(0.5,0.5)*+{\Gamma_1} ,(4.8,0.5)*+{\Gamma_2} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 6-5 ]

再者，由 [圖 6-5] 中可見兩圓正交的充要條件就是 $\overline{O_1O_2}^2=r_1^2+r_2^2$ ，即

(D₂-D₁)²+(E₂-E₁)²-(D₁²+E₁²-F₁)-(D₂²+E₂²-F₂)=0

亦即

$\begin{displaymath} -2(D_1D_2+E_1E_2)+(F_1+F_2)=0 \eqno \Box \end{displaymath}$

【定理 6.4】：設 Γ 和兩個圓

$\begin{displaymath}\Gamma_i :\; x^2+y^2+2D_ix+2E_iy+F_i=0, \quad i=1,2\end{displaymath}$

都互相正交，則 Γ 和由 $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ 所生成的圓系，即

k₁(x²+y²+2D₁x+2E₁y+F₁)+k₂(x²+y²+2D₂x+2E₂y+F₂)=0

其中每一個圓都是正交的。

証明：設 Γ 的方程式為

$\begin{displaymath}\Gamma :\; x^2+y^2+2Dx+2Dy+F=0\end{displaymath}$

則由所設的正交性即有

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lp{3cm}} 2(DD_1+EE_1)-(F+F_1)=0 &\dotfill(1)\\ 2(DD_2+EE_2)-(F+F_2)=0 &\dotfill(2) \end{array}\right. \end{displaymath}$

再者，由 $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ 所生成的圓系中的任給一圓的方程式可以改寫成標準式為

$\begin{displaymath}x^2+y^2+2(\frac{k_1D_1+k_2D_2}{k_1+k_2})x + 2(\frac{k_1E_1+k_2 E_2}{k_1+k_2})y +(\frac{k_1F_1+k_2 F_2}{k_1+k_2})=0\end{displaymath}$

由 (1), (2) 易得

$\begin{displaymath}2(D\cdot \frac{k_1D_1+k_2D_2}{k_1+k_2}+E\cdot \frac{k_1E_1+k_2 E_2}{k_1+k_2})-(F+\frac{k_1F_1+k_2 F_2}{k_1+k_2})=0\end{displaymath}$

所以它也是和 Γ 正交的。 □

【習題】：

(1)

試寫下過平面上（不共線）三點 P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂), P₃(x₃,y₃) 的圓的方程式。

(2)

試寫下過空間中（不共面）四點 P₁(x₁,y₁,z₁), P₂(x₂,y₂,z₂), P₃(x₃,y₃,z₃), P₄(x₄,y₄,z₄) 的球的方程式。

(3)

試求分別以下述方程式表達的直線與圓相交于兩點，相切和不相交的系數條件式：

$\begin{eqnarray*} \ell:&& ax+by+c=0 \\ \Gamma: && x^2+y^2+2Dx+2Ey+F =0,\quad (D^2+E^2-F>0) \end{eqnarray*}$

(4)

試求分別以下述方程式表達的平面與球相交于一圓，相切于一點和不相交的系數條件式：

$\begin{eqnarray*} \Pi:&& ax+by+cz=0=0 \\ \Sigma: && x^2+y^2+z^2+2Dx+2Ey+2Fz+G =0,\quad (D^2+E^2+F^2-G>0) \end{eqnarray*}$

(5)

設 P₁(x₁,y₁) 是位于圓 Γ 外的一點，而 Γ 的方程式是

$\begin{displaymath}\Gamma:\;x^2+y^2+2Dx+2Ey+F=0\end{displaymath}$

試求如 [圖 6-6] 所示由 P₁ 到 Γ 的切線長平方的公式（其值叫做 P₁ 點對于 Γ 的冪）。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0606.eps}}*\fr... ....7,2.5)*+{\Gamma:} ,(1.6,2.1)*+{\scriptstyle P_0(-D,-E)} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 6-6 ]

(6)

等冪軸：設 $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ 是相異兩圓，其方程分別為

$\begin{displaymath}\Gamma_i :\; x^2+y^2+2D_ix+2E_iy+F_i=0, \quad i=1,2\end{displaymath}$

和 $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ 的切線長相等的點集叫做它們的等冪軸，試求其方程式。

(7)

如 [圖 6-7] 所示， $\Gamma: x^2+y^2-y=0$ 乃是一個以 $\overline{OC}$ 為直徑的圓。令 $A(\alpha,0)$ , $B(\beta,0)$ 為 x-軸上給定兩點，連結 $\ell_1=AC$ 和 $\ell_2=BC$ 使得兩線分別相交 Γ 于 Q₁, Q₂ 兩點。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=7cm \epsfbox{fig0607.eps}}*\fr... ...eta,0)} ,(2.1,-0.2)*+{P_1(c_1,0)} ,(4.2,4)*+{P_2(c_2,1)} \endxy\end{displaymath}$