四、空間中的平行與垂直

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．作者任教於香港科技大學數學系

《基礎幾何學》

四、空間中的平行與垂直
——平直性與對稱性的交互作用

項武義

平直性與平行
對稱性與垂直

本章將進而研討定量空間（亦即立體）幾何的基礎理論。在空間的種種性質之中，最為基本而且影響無比深遠者，首推對稱性 (Symmetry) 和平直性 (Flatness 或 Rectilinearity) 。兩者在三角形上的表述分別就是「S.A.S. 疊合條件」和「三內角和恆為一個平角」。我們將會分別對于平直性和對稱性在立體幾何中的表現作一番返璞歸真的分析，而其所展現者，乃是空間中的「平行」與「垂直」以及兩者之間的密切關聯。其實平行與垂直乃是整個定量立體幾何的基礎所在，當然也就是同學們學習立體幾何的起點與要點所在。

平直性與平行

在平面幾何中，同學們熟用如 [圖 4-1] 所示的同位角相等來檢驗或構造平行線：

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0401.e... ...ngle 1=\angle 1' \; \Leftrightarrow \; \ell /\!/\ell'} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 4-1 ]

在引言和第二章中已經和同學們討論過，上述驗証條件的可行性其實和「三角形內角和恆等于一個平角」是同一件事的兩種表現。而歐幾里德的著名「第五公設」也就是以公設形式宣稱上述條件就是 $\ell_{1}$ , $\ell_{2}$ 不相交的唯一可能性，亦即以公設形式假設了三角形內角和恆等于一個平角。

開宗明義，在空間中點、直線、平面之間的連結與交截，具有下述三點基本性質（通常也稱之為公理）：

其一：相異兩點定一直線，不共線三點定一平面。

其二：平面 Π 上相異兩點所定的直線會完全包含于 Π 之內。

其三：設 $\Pi_1\cap \Pi_2\neq \phi$ （亦即非空），則 $\Pi_1$ , $\Pi_2$ 相交于一條直線或相重（亦即兩面之交集不可能僅僅是一個點）。

空間中平行性的定義：

(i) 面、面平行之定義

$\begin{displaymath} \Pi_1/\!/ \Pi_2 \quad \Leftrightarrow \quad \Pi_1\cap \Pi_2 ... ...eries{m}\selectfont \cH67}} \\ \Pi_1=\Pi_2 \end{array} \right. \end{displaymath}$

(ii) 線、面平行之定義

$\begin{displaymath} \ell/\!/ \Pi \quad \Leftrightarrow \quad \ell\cap \Pi = \lef... ...}\fontseries{m}\selectfont \cH67}} \\ \ell \end{array} \right. \end{displaymath}$

(iii) 線、線平行之定義

$\begin{displaymath} \ell_1/\!/ \ell_2 \quad \Leftrightarrow \quad \hbox{$\ell_1... ...ies{m}\selectfont \cH67}} \\ \ell_1=\ell_2 \end{array} \right. \end{displaymath}$

注意：線、線平行關係要求兩者必須共面。兩條不共面的直線的關係則稱之為不交線 (skew lines)。

【引理 4.1】：設 $\Pi_1 /\!/ \Pi_2$ , $\Pi\cap\Pi_1=\ell_1$ , $\Pi\cap\Pi_2=\ell_2$ ，則 $\ell_1 /\!/ \ell_2$ 。

証明：若 $\Pi_1=\Pi_2$ 則顯然有 $\ell_1=\ell_2$ 。若 $\Pi_1\cap\Pi_2=\phi$ ，則 $\ell_1$ , $\ell_2$ 共在 Π 之中而且

$\begin{eqnarray*} \ell_1\cap\ell_2 &=&\big(\Pi\cap\Pi_1\big)\cap\big(\Pi\cap\Pi_2\big) \\ &=& \Pi\cap\Pi_1\cap\Pi_2 \\ &=& \Pi\cap\phi=\phi \end{eqnarray*}$

□

在平面幾何中關于平行線的一個基本結果是過平面上任何給定點 P，存在唯一一條直線 $\ell(P)$ ，它和給定直線 $\ell$ 互相平行。再者，如 [圖 4-1'] 所示，同位角相等乃是 $\ell /\!/ \ell(P)$ 的一個特徵性質。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0401.e... ...ily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cH199}~4--1$'$ ]}} \end{xy}\end{displaymath}$

同樣的，在立體幾何中我們也有下述定理：

【定理 4.1】：對于一個給定平面 Π 和一個給定點 P，存在唯一的一個平面 $\Pi(P)$ ，它過 P 點而且 $\Pi(P) /\!/ \Pi$ 。

証明：我們將用解作圖題的手法和精神去証明上述 $\Pi(P)$ 的唯一存在性。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =6cm \epsfbox{fig0402.e... ...3.25,4.1)*+{\ell_2'} ,(2.4,3)*+{\Pi'} ,(2.55,3.8)*+{P} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 4-2 ]

當 $P\in \Pi$ 時，顯然有 $\Pi(P)=\Pi$ ，所以只需討論 $P\notin \Pi$ 的情形。我們所要論証者乃是一個包含 P 而且和 Π 不相交的平面是唯一存在的。先証其唯一性：設 $\Pi'$ 是一個這樣的平面，如 [圖 4-2] 所示，在 Π 上任取兩條相交的直線 $\ell_1$ , $\ell_2$ 。令

$\begin{eqnarray*} \Pi_1=<\!\!\{P\}\cup \ell_1\!\!>, & & \Pi_2=<\!\!\{P\}\cup \ell_2\!\!> ;\\ \ell'_1=\Pi_1\cap\Pi', & & \ell'_2=\Pi_2\cap\Pi' \end{eqnarray*}$

由[引理 4.1]得知

$\begin{displaymath} \ell'_1 /\!/ \ell_1 \hbox{({\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\... ...t \cH53}\z{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cH50})} \end{displaymath}$

再者，由平面幾何中平行線的唯一性可知 $\ell'_1$ , $\ell'_2$ 分別在 $\Pi_1$ , $\Pi_2$ 之中是唯一存在的。因此唯一地確定了 $\Pi'=<\!\!\ell'_1 \cup \ell'_2\!\!>$ 。

其實上述論証業已明確地指出這樣一個 $\Pi'$ 的構造作圖法。現在直截了當地用構造來証明其存在性：

第一步：在 Π 上任取相交的兩條直線 $\ell_1$ , $\ell_2$ 。令 $\Pi_1=<\!\!\{P\}\cup \ell_1\!\!>$ , $\Pi_2=<\!\!\{P\}\cup \ell_2\!\!>$ 。

第二步：用平面幾何所熟知的作圖法分別在 $\Pi_1$ , $\Pi_2$ 中作過 P 點而且分別平行于 $\ell_1$ , $\ell_2$ 的直線 $\ell'_1$ , $\ell'_2$ 。令 $\Pi(P)=<\!\!\ell'_1 \cup \ell'_2\!\!>$ ，則 $\Pi(P)\cap\Pi=\phi$ 。不然，則 $\Pi(P)$ 和 Π 的交線 $\ell$ 至少和 $\ell_1$ , $\ell_2$ 中之一交于一點 Q。則有

$\begin{eqnarray*} \ell_i\cap\ell &=& \big(\Pi_i\cap\Pi\big)\cap\big(\Pi(P)\cap\P... ...i\cap\Pi\big)\cap(\Pi_i\cap\Pi(P)\big) \\ &=& \ell_i\cap\ell'_i \end{eqnarray*}$

其中至少有一是非空的，和所作 $\ell_1 /\!/ \ell'_1$ , $\ell_2 /\!/ \ell'_2$ 相矛盾。 □

【推論】：設 $\Pi /\!/ \Pi'$ 和 $\Pi' /\!/ \Pi''$ ，則 $\Pi /\!/ \Pi''$ 。

証明：設 $\Pi\cap\Pi''\neq \phi$ 。令 P 為 $\Pi\cap\Pi''$ 中一點，則 Π 和 $\Pi''$ 都是過 P 點而且和 $\Pi'$ 平行者。所以由 [定理 4.1] 的唯一性得知 $\Pi=\Pi''$ ，亦即

$\begin{displaymath} \Pi\cap\Pi''=\left\{ \begin{array}{l}\; \phi \\ \Pi=\Pi'' \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \Pi /\!/ \Pi'' \end{displaymath}$

【引理 4.2】：設 $\Pi_i$ , $1\leq i \leq 3$ , 是三個兩兩相交于一直線的平面。令 $\Pi_i\cap\Pi_j=\ell_k$ , $(i,j,k)\sim (1,2,3)$ ，則其交截有下列三種可能性，即

$\begin{displaymath} \dim \Pi_1\cap\Pi_2\cap\Pi_3 =\left\{ \begin{array}{c} -1 \\... ...2\cap\ell_3=\{P\} \\ \ell_1=\ell_2=\ell_3 \end{array} \right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =3cm \epsfbox{fig0403a.... ... \epsfbox{fig0403c.eps}}*\frm{} ,(1.5,-0.5)*+{\dim =1} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 4-3 ]

証明：

$\begin{displaymath} \ell_1\cap\ell_2=\big(\Pi_2\cap\Pi_3\big)\cap\big(\Pi_1\cap\Pi_3\big) =\Pi_1\cap\Pi_2\cap\Pi_3 \end{displaymath}$

同理亦有

$\begin{displaymath} \ell_2\cap\ell_3=\ell_1\cap\ell_3=\Pi_1\cap\Pi_2\cap\Pi_3 \end{displaymath}$

由此可見，在 $\Pi_1\cap\Pi_2\cap\Pi_3$ 是 1-維時三線相重，而當其為 0-維時則三線共交于一點，即 $\{P\}=\Pi_1\cap\Pi_2\cap\Pi_3$ 。再者，當 $\Pi_1\cap\Pi_2\cap\Pi_3=\phi$ 時，則有 $\{\ell_1,\ell_2,\ell_3\}$ 兩兩共面而且不相交，亦即

$\begin{displaymath} \ell_1 /\!/ \ell_2,\quad \ell_2 /\!/ \ell_3,\quad \ell_3 /\!/ \ell_1 \eqno \Box \end{displaymath}$

【定理 4.2】：設 $\ell_1 /\!/ \ell_2$ , $\ell_2 /\!/ \ell_3$ ，則 $\ell_1 /\!/ \ell_3$ 。

証明：若三線中有兩線相重，則上述命題顯然成立。所以只需討論三線相異的情形如下：令

$\begin{displaymath} <\!\!\ell_1\cup \ell_2\!\!>=\Pi_3,\quad <\!\!\ell_2\cup \ell_3\!\!>=\Pi_1 \end{displaymath}$

在 $\ell_3$ 上任取一點 P，令

$\begin{displaymath} <\!\!\{P\}\cup \ell_1\!\!>=\Pi_2,\quad \ell'_3=\Pi_1\cap\Pi_2 \end{displaymath}$

由[引理 4.2]即有 $\{\ell_1,\ell_2,\ell'_3\}$ 兩兩互相平行。所以 $\ell_3$ 和 $\ell'_3$ 都是 $\Pi_1$ 中過 P 點而且和 $\ell_2$ 平行者。由平面幾何中平行線的唯一性得知 $\ell_3=\ell'_3$ 。這也就証明了 $\ell_1 /\!/ \ell_3$ 。 □

【推論】：設 $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup A'B'C'$ 是空間中兩個三角形。若 $\{\overline{AB},\overline{A'B'}\}$ 和 $\{\overline{BC},\overline{B'C'}\}$ 分別同向平行而且等長，則 $\{\overline{AC},\overline{A'C'}\}$ 也同向平行而且等長。

証明：連結 $\overline{AA'}$ , $\overline{BB'}$ 和 $\overline{CC'}$ 。由所設和平面幾何中平行四邊形的特徵性質定理，可見 $\hskip-3pt\raise-1pt\hbox{\xy\xyimport(1,1){\epsfxsize=0.6cm \epsfbox{pgram.eps}}*\frm{} \endxy }\hskip-1ptABB'A'$ 和 $\hskip-3pt\raise-1pt\hbox{\xy\xyimport(1,1){\epsfxsize=0.6cm \epsfbox{pgram.eps}}*\frm{} \endxy }\hskip-1ptBCC'B'$ 都是平行四邊形。因此 $\overline{AA'} /\!/ \overline{BB'}$ ， $\overline{BB'} /\!/ \overline{CC'}$ 而且等長。由[定理 4.2]， $\overline{AA'} /\!/ \overline{CC'}$ 而且等長。所以 $\hskip-3pt\raise-1pt\hbox{\xy\xyimport(1,1){\epsfxsize=0.6cm \epsfbox{pgram.eps}}*\frm{} \endxy }\hskip-1ptACC'A'$ 也是平行四邊形。就這証明了 $\overline{AC}$ 和 $\overline{A'C'}$ 也是同向平行而且等長（參看 [圖 4-4]）。 □

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4cm \epsfbox{fig0404.e... ...A} ,(-0.15,-0.3)*+{A'} ,(5.2,0.55)*+{C'} ,(2,5.3)*+{B} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 4-4 ]

【習題】：

(1)

若 $\Pi /\!/ \Pi'$ , $\ell\subset\Pi$ ，則 $\ell /\!/ \Pi'$ 。試証之。

(2)

設 $\ell_1\cap\ell_2=\{P\}$ , $<\!\!\ell_1\cup\ell_2\!\!>=\Pi$ 。若 $\ell_1 /\!/ \Pi',\; \ell_2 /\!/ \Pi'$ ，則 $\Pi /\!/ \Pi'$ 。試証之。

(3)

設 $\ell\cap\Pi=\phi$ , $\Pi_1\cap\Pi_2=\ell$ , $\Pi_1\cap\Pi=\ell_1$ , $\Pi_2\cap\Pi=\ell_2$ 。試証 $\ell_1 /\!/ \ell_2$ 。

(4)

設 $\Pi_1\cap\Pi_2=\ell'$ 而且 $\ell /\!/ \Pi_1$ , $\ell /\!/ \Pi_2$ 。試証 $\ell /\!/ \ell'$ 。

(5)

設 $\Pi\cap\Pi'=\phi$ ， $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup A'B'C'$ 分別位于 Π 和 $\Pi'$ 之中。若 AA',BB',CC' 三線共交于一點 O （如 [圖 4-5] 所示）則 $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A'B'C'$ （為相似三角形）。試証之。

(6)

如 [圖 4-5] 所示， $\Pi=<\!\!\{A,B,C\}\!\!>,\; %% \Pi'=<\!\!\{A',B',C'\}\!\!>$ 而且 AA',BB' 和 CC' 三線共交于 O 點。若 $\bigtriangleup OAB \sim \bigtriangleup OA'B'$ 和 $\bigtriangleup OBC \sim \bigtriangleup OB'C'$ ，則 $\Pi /\!/ \Pi'$ 。試証之。

(7)

如 [圖 4-5] 所示和上題所設，若 AB 和 A'B'，AC 和 A'C'，BC 和 B'C' 各自交于一點，則上述三個交點共線。試証之。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0405.e... ...(2.9,5.2)*+{O} ,(0.35,0.25)*+{\Pi} ,(1.35,2.9)*+{\Pi'} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 4-5 ]

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最後修改日期：6/19/2004