《九章算術》與不可公度量 （註釋）

李國偉

 
註釋

...註1
《九章算術》的成書年代推斷是在公元前一世紀，請參見李繼閔：東方數學典籍《九章算術》及其劉徽注研究，陝西人民教育出版社，1990年，19頁。
...註2
郭書春：《九章算術》匯校本，遼寧教育出版社，1990年，258頁∼259頁。以下簡稱本書為匯校本。
...註3
據推斷劉徽的出生不會晚於公元245年，請參見郭書春：古代數學泰斗劉徽，山東科學技術出版社，1992年，363頁。
...註4
李繼閔註1引書，112頁。
...註5
兩個量如果可以找到一個公共的單位來度量，使得每一個量都是那個單位的整倍數，則稱兩量是可公度量的 (commensurable) 。如果這種單位不存在，則稱兩量是不可公度量的 (incommensurable) 。固然從不可公度量最後發展出「無理數」的觀念，但是在希臘人的思想體系中，是沒有無理數這種「數」的。希臘人所謂的「數」 (arithmos) ，永遠是指異於1的正整數，不要說沒有「無理數」，連「有理數」也未曾接納。雖然像阿基米德這樣傑出的數學家，運用「比」 (logos) 跟運用有理數一樣純熟，但是「比」從來沒有被當成「數」。相關的歷史請參考W. R. Knorr, 《The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Significance for Early Greek Geometry》, Reidel, Dordrecht, 1975及Árpád Szabó，《The Beginnings of Greek Mathematics》, D. Reidel, Dordrecht, 1978.
...註6
有關數的概念的演化史，請參考J. N. Crossley, 《The Emergence of Number》, World Scientific, Singapore, 1987.
...註7
匯校本，424頁。
...註8
Theon of Alexandria (c. 350) 在講解求平方根的方法時，也稱此根為「方之邊」，這是西方「以面命之」的類似例子。請參見W. R. Knorr註5引書，19頁，註22。
...註9
匯校本，265頁。
...註10
例如清代李潢：《九章算術》細草圖說，或請參見沈康身：中算導論，上海教育出版社，1986年，180頁。
...註11
匯校本，184頁及235頁。
...註12
匯校本，l86頁。
...註13
郭書春在註3引書248頁也表示了類似的意見，他說：「劉徽求微數的思想可能受到他自己的無窮小分割思想的影響。但是，劉徽聲明：『雖有所棄之數，不足言之也』，說明這不是一個無限的過程，事實上也作不到，因此仍是一個近似計算。」
...註14
匯校本，191頁∼194頁。
...註15
錢寶琮：《九章算術》及其劉徽注與哲學思想的關係，收於《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社，1983年，在606頁上也說：「但他沒有說明開不盡的平方根與它的近似值有所區別，無理數與有理數有不同的範疇。」
...註16
D. E. Smith, 《History of Mathematics》, Ginn, New York, 1925, Vol. II, p.208.
...註17
Aristotle, Metaphysics, 985b-986a.
...註18
在線段 AB 中找一點 C，使得 AB 與 AC 的比值等於 AC 與 CB 的比值，則說 C 把 AB 線段分成中末比 (extreme and mean ratio)。
...註19
如果有 A、B 兩量，而且 B 大於 A，則從 B 中盡量減去 A 的整倍數，若有剩餘 C，再從 A 中盡量減去 C 的整倍數，如此反覆來回相減的方法，古希臘便稱為 anthyphairesis。為了與中國古代的「更相減損」以及現代數學的「輾轉相除」區別，暫譯為「輾轉相減」。請參考D. H. Fowler, 《The Mathematics of Plato's Academy: A New Reconstruction》, Oxford University Press, Oxford, 1990, Chapter 2.
...註20
Aristotle, Prior Analytics I.23, 41a.
...註21
從《周髀算經》中理解出勾股定理的證明，請參考李國偉：論《周髀算經》「商高曰數之法出於圓方」章，收於第二屆科學史研討會彙刊，中央研究院科學史委員會，1991年，227頁∼234頁。
...註22
請參考W. R. Knorr註5引書，第七章，第二節。
...註23
請參見J. N. Crossley註6引書，l31頁。
...註24
匯校本，187頁。
...註25
匯校本，214頁。
...註26
郭書春註3引書，146頁。
...註27
匯校本，l91頁。
...註28
請參考郭書春註3引書，第四章。
...註29
匯校本，426頁。
...註30
請參考李繼閔註1引書，第五章，第二節。
...註31
在開立方的部分，開之不盡連「以面命之」也沒提。
   


最後修改時間: 12/2/2003