機率應用：可靠性

翁秉仁

．作者任教於台大數學系
．本文節錄改寫自作者《微積分講義》

人類的工作環境非常依賴機器設備 , 各式工廠的生產線, 家庭中的電器或電線配置 (例如簡單的電燈配置), 公司內的電話, 電腦, 影印機等的聯線配置, 汽車內必要零件的配置等. 但是設備總有故障的時候, 因此以最少成本裝配出盡量少故障的配置方式是機率理論的一種應用.

令 L 表示某裝置壽命的隨機變數, 一設備的可靠度定義成

$\begin{displaymath}R_L(t)=P(L> t)\quad (\mbox{{\MdQ\char 185}\hskip 0.0pt plus0.... ...\MbQ\char 156}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MhQ\char 48}})\end{displaymath}$

注意到 R_L(t) 與 f_L(t) 的關係是

$\begin{displaymath}f_L(t) = F_L'(t)=\big(P(L\leq t)\big)'=\big(1-P(L>t)\big)' =-R_L'(t)\end{displaymath}$

所以設備的平均壽命為

$\begin{eqnarray*} E(L)&=&\int_0^{\infty} t f_L(t)\; dt\\ &=& \int_{0}^{\infty}{... ...}+\int_0^{\infty} R_L(t)\; dt \\ &=&\int_0^{\infty} R_L(t)\; dt \end{eqnarray*}$

(常識說 $P(L> \mbox{{\MbQ\char 39}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MaQ\char 215}} N)$ 的機率非常非常小, 不妨假設 $\lim_{t\rightarrow\infty} tR_L(t)=0$ )

例. 一個常用的壽命機率分配是指數分配: $\mu e^{-\mu t}$ , t>0.

這相當於說, 在一定時間內, 一設備故障的次數遵守 Poisson 分配, 而壽命相當於等候它故障的時間. 因此這裡 L 其實就是前節的 W.

由指數分配的性質知

$\begin{eqnarray*} R_L(t)&=&\int_t^{\infty}\mu e^{-\mu t} dt=e^{-\mu t}\\ E(L)&=&\int_0^{\infty} R(t)\; dt=\frac{1}{\mu} \end{eqnarray*}$

配置有兩種最基本的型態: 串聯與並聯

(一) 串聯: 有一個設備或零件故障, 系統就故障.

將串聯在一起的設備 L₁, L₂, …, L_n, 看成一部大機器 $\hat L$ . 則此大機器的可靠性 $R_{\hat L} (t)$ 是各零件設備可靠性 $R_i(t)\equiv R_{L_i}(t)$ 的某種函數: 假設各設備之運作獨立, 則

$\begin{eqnarray*} R_{\hat L}(t)&=&P(\hat{L}>t)\\ &=&P(L_1>t) \cdot P(L_2>t)\cdots P(L_n>t)\\ &=&R_1(t)\cdot R_2(t)\cdots R_n(t) \end{eqnarray*}$

例如假設各零件之可靠性為 $e^{-\lambda_i t}$ , 則此串聯機器之可靠性為 $e^{-(\lambda_1+\cdots +\lambda_n)t}$ .

(二) 並聯: 只要有一個設備不故障則整個系統就可以運轉.

$\begin{eqnarray*} R_{\hat L}(t)&=&P(\hat{L}>t)\;\;=\;\;1-P(\hat{L}\leq t)\\ &=&... ...g(1-R_1(t)\big)\cdot \big(1-R_2(t)\big)\cdots \big(1-R_n(t)\big) \end{eqnarray*}$

例如並聯兩上述設備之可靠度為:

$\begin{displaymath}1-(1-e^{-\lambda_1t})(1-e^{-\lambda_2t})=e^{-\lambda_1t}+e^{-\lambda_2t} -e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}\end{displaymath}$

我們可比較串聯與並聯兩設備(可靠度都是 $e^{-\frac{t}{\mu}}$ ) 之壽命.

$\begin{eqnarray*} &\mbox{{\MdQ\char 7}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\McQ\cha... ...u}}-e^{-\frac{2t}{\mu}})\; dt= 2\mu-\frac{\mu}{2}=\frac{3}{2}\mu \end{eqnarray*}$

習題：同上例考慮 n 部可靠度都是 $e^{-{t\over \mu}}$ 的設備 , 證明

$\begin{eqnarray*} \mbox{{\MdQ\char 7}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\McQ\cha... ... 58}} &\mbox{:}& E(\hat{L})=(1+{1\over 2}+\cdots +{1\over n})\mu \end{eqnarray*}$

習題：

: (1) 一系統配置如下圖, 假設單一零件壽命皆遵守指數分配, 且平均壽命均為 6 個月, 求此配置系統之平均壽命？
: (2) 求出整個系統壽命之機率密度函數並作圖.

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．指數分配

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最後修改日期：9/30/2001