經濟學應用：價格模型

翁秉仁

 



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．作者任教於台大數學系
．本文節錄改寫自作者《微積分講義》
 

若考慮一簡單的市場──只有一種商品在買賣， 讓我們理想化地假設所有的買賣過程都是連續的，而且買賣雙方都能對價格的變化當下作出反應.

設需求函數與供應函數如下：

(1) 需求函數 D(p) 為 D(p)= a + b p, 其中 p 為商品價格, 顯然 a>0, b<0.
(2) 供應函數 Q(p) 為 Q(p) = c + d p, 顯然d>0.

我們不妨也假設 $ c\leq 0$.



則平衡價格(equilibrium price) p*, 為 D(p)=Q(p) 之解, 即 $ { p^* = \frac{a-c}{d-b}}$.

我們要考慮的是價格動態變化的過程, 假設價格的變化率與需求 供應之差(即 D(p)-Q(p))成正比, 則

\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dt}&=&\gamma (D(p)-Q(p)) \\ &=& \gamma ((a-c) + (b-d)p) \end{eqnarray*}


其中 $\gamma >0$.



習題： 說明此方程之解為 (如上圖)

\begin{displaymath}p(t)=p^* + (p_0-p^*) e^{-\gamma (d-b)t}, p_0=p(0) \end{displaymath}

這表示市場價格終將趨於穩定，而且其穩定的極限就是平衡價格 p *.

註. 前面已提到這個模型是一個理想化的模型，實際的市場買賣經常是逐 天, 逐星期, 逐月, ...而改變. 這需要一種離散而非連續的模型.

習題： 若設某商品之需求函數為 D(p)=100-2p, $p\leq 50$, 供應函 數為 Q(p)=4p-20, $5\leq p$, 請問

(1) 均衡價格 P* 是多少?
(2) 設 p0=10, $\gamma=0.1$, 時間單位為天, 請問隔多少天後, 價格 為落在 $p^{*}\pm 5\%$ 內.
（Ans.(1) 20 元, (2) 約四天.）

   

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最後修改日期：9/30/2001