放射衰變與考古斷代

翁秉仁

首頁 | 搜尋

．作者任教於台大數學系
．本文節錄改寫自作者《微積分講義》

註釋

放射衰變

由實驗得知，放射性元素衰變的速率與其總量呈正比，令 M(t) 為時間 t 之總量，M₀ 為 t=t₀ 時之總含量，則

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} M'(t) =-\kappa M(t), \quad\kappa >0 \\ M(t_0) = M_0 \end{array} \right. \end{displaymath}$

作與前節類似的計算，可得

$\begin{displaymath}M(t)=M_0 e^{-\kappa(t-t_0)}\end{displaymath}$

習題：一放射性物質衰變到僅剩一半時，所需的時間，稱為該物質的半衰期。

: (1) 已知碳14的半衰期為5700年，求 κ？
: (2) 鈷60之衰變常數為 0.13（1/年），求半衰期？

Ans. (1) $\kappa\approx 1.22 \times 10^{-4}$ （1/年）； (2) 5.3年。

碳14斷代法

大氣中放射性的碳14二氧化碳與正常二氧化碳之比率近於定值。因此經由呼吸作用動植物體內也含有相同比率的放射性碳。但動植物死亡後，體內碳14不再獲得補充，因此隨著放射衰變，碳14的比率乃依前述衰變法則降低。利用這個方法，我們可以檢測考古遺址中發現的獸骨、木炭、貝殼、炭化種子的碳14含量，以斷定遺址存在的時間。遺址時間的測定，在考古人類學上有基本的重要性，藉以排比不同遺址間之先後，判別文化之傳承或相互影響。在碳14斷代法發明前，考古學家只能藉由間接的方法（某些器物的使用，陶器取樣類型之近似與複雜度等）來判斷。因此碳14斷代法的問世，是人類對史前史研究的一柄利器。

例.（台灣大坌(ㄅㄣˋ)坑文化） ^註

台灣大坌坑文化考掘出土之碳素標本（約1960年出土），其碳14含量範圍相對於正常大氣含量，均在 43% 到 60% 之間。由前面習題知 $\kappa \approx 0.000122$ 。

$\begin{displaymath} 43\% = \frac{43}{100} = M(1960)/M_0 = e^{-\kappa (1960-t_0)} \Rightarrow t_0 \approx -4980 \end{displaymath}$

同理由 60% 可得到 $t_0 \approx -2240$ 。

因此大坌坑文化年代約在西元前2000年至5000年間，與仰韶文化約屬同期，為新石器時代早期之文化。一些學者相信，大坌坑文化為太平洋南島語族的起源，而台灣現存之原住民（高山九族與平埔族）便屬南島一系。

習題: 在非洲挖掘出人頭蓋骨，其碳14含量相對於正常含量為 $\frac{9}{100}$ ，請估計其年齡？（Ans.約兩萬年前）

地質年代或古生物學年代之測定

對動輒上億年（地球年齡約45億年）的地質年代，利用半衰期僅5700年的碳14斷代是不可能的事情(why?)。幸好在礦石中，有其他的放射性物質可以利用：例如鈾238會衰變為鉛206，其半衰期為45億年；雲母或長石中的鉀40會衰變為氬40，其半衰期為13億年等。

習題: 在蒙古發現翼手龍之化石，設同地質層中之長石內，鉀與氬之比例為 92:8，請由此估算其年代。（Ans. 約一億5640萬年前，時當侏羅紀後期。）

習題

(1) 在美國出土之三葉蟲化石，其伴隨之鈾礦中，其鈾238與鉛206的比例為 93:7，請估算其年代。
(2) 又在同礦中發現放射性鈾235，與其衰變穩定態鉛207比例為 63:37。試求其半衰期。（Ans.(1) 約 4 億7000萬年前，時當奧陶紀；(2) 約7.1億年。）

（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

最後修改日期：9/30/2001