經濟學應用:無差異曲線
翁秉仁 |
.作者任教於台大數學系 .本文節錄改寫自作者《微積分講義》 |
在夏天,冰淇淋與西瓜都有消暑的功效,但是顯然吃多了冰淇淋,您就不想吃西瓜,反之亦然。這表示冰淇淋與西瓜間有替代的功能存在。如果我們將這種替代效果,理想地描繪出來,就變成右圖的所謂無差異曲線,每一條曲線各表示同樣效用的替代關係。如果令 g(x,y) 表示 x 單位西瓜與 y 單位冰淇淋的效用函數,則無差異曲線就是 g(x,y)=C 的曲線族(等效用線)。
現在假設, 我們有一筆固定而且要花光的預算來買西瓜與冰淇淋,
其中Px 為西瓜的價格,Py 為冰淇淋的價格,B 是總預算。我們希望 得到最大的效用,這是一個有限制條件的極值問題,令
f(x,y)=Px x+Py y-B=0
由 Lagrange 乘子法 由此我們得到,極值點滿足方程式 即各自邊際效用與價格比率相等之點。
現假設
且 Px=1, Py=2, B =9,代入前面的方程式得 則 y=x(y = -x 不合),所以 x+2y=9,解得 x=3, y=3。
注意到,y=x 的解條件其實與 B 的大小無關,這表示隨著預算的昇高,總採購量雖然變多了,但是西瓜與冰淇淋購買的比例卻保持為 1:1。 這個消費者,並沒有因為預算的增加,就特別偏袒某一項產品。
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最後修改日期:9/30/2001 |