經濟學應用：無差異曲線

翁秉仁

．作者任教於台大數學系
．本文節錄改寫自作者《微積分講義》

在夏天，冰淇淋與西瓜都有消暑的功效，但是顯然吃多了冰淇淋，您就不想吃西瓜，反之亦然。這表示冰淇淋與西瓜間有替代的功能存在。如果我們將這種替代效果，理想地描繪出來，就變成右圖的所謂無差異曲線，每一條曲線各表示同樣效用的替代關係。如果令 g(x,y) 表示 x 單位西瓜與 y 單位冰淇淋的效用函數，則無差異曲線就是 g(x,y)=C 的曲線族（等效用線）。

X= 西瓜，Y= 冰淇淋

Claim.

由常識，無差異曲線是遞減，凹向上的不相交曲線族。

說明：
: (1) 遞減 $(y'(x) \approx \frac{\Delta y}{\Delta x}<0)$ : 多吃西瓜就會少吃冰淇淋（這正是替代的意思）。
: (2) 凹向上（即 $-y\;'\approx -\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 會遞減）：當西瓜所佔的份量多時，多吃一片西瓜能代替的冰淇淋份量，顯然比西瓜少時，多吃一片西瓜能代替的冰淇淋份量來得少，這是邊際效用遞減的結果。

習題：: 說明無差異曲線不應該相交。（Hint：若相交在替代效應上會出現荒謬的結果。）

現在假設, 我們有一筆固定而且要花光的預算來買西瓜與冰淇淋,

$\begin{displaymath}P_x\cdot x+P_y\cdot y=B \end{displaymath}$

其中P_x 為西瓜的價格，P_y 為冰淇淋的價格，B 是總預算。我們希望得到最大的效用，這是一個有限制條件的極值問題，令

f(x,y)=P_x x+P_y y-B=0

由 Lagrange 乘子法

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} {{{\partial g}\over {\partial x}}=\lambda\cd... ... y}}=\lambda\cdot P_y}\\ {P_x\cdot x+P_y\cdot y=B} \end{array}\end{displaymath}$

由此我們得到，極值點滿足方程式

$\begin{displaymath}\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{P_x}= \frac{\frac{\partial g}{\partial y}}{P_y}\end{displaymath}$

即各自邊際效用與價格比率相等之點。

習題：: 請經濟地解釋這個定理。

現假設

$\begin{displaymath}g(x,y)=\frac{xy}{2x+y}, \quad x,y>0\end{displaymath}$

且 P_x=1, P_y=2, B =9，代入前面的方程式得

$\begin{displaymath}\frac{y^2}{1}\;=\;\frac{2x^2}{2}\end{displaymath}$

則 y=x（y = -x 不合），所以 x+2y=9，解得 x=3, y=3。

注意到，y=x 的解條件其實與 B 的大小無關，這表示隨著預算的昇高，總採購量雖然變多了，但是西瓜與冰淇淋購買的比例卻保持為 1:1。這個消費者，並沒有因為預算的增加，就特別偏袒某一項產品。

習題：

(續上例) 若 P_x=2, P_y=1, 會造成偏袒嗎？

（Ans. 極值點條件為 y=2x，比例固定為 1:2，不因為預算升高而偏袒某商品。）

習題：

設 $g(x,y)= \frac{xy}{ x+2y}$ , P_x=1, P_y=3, B=20。

: (1) 說明 g(x,y)=C>0 滿足無差異曲線的要求。
: (2) 求極值點之條件。
: (3) 有沒有因為預算升高而偏袒某商品的情形發生？

習題：

設 $g(x,y)=\root 3 \of x\sqrt y$ , x, y>0, P_x=1, P_y=2, B =20.

: (1) 說明 g(x,y)=C>0 滿足無差異曲線的要求。
: (2) 求 x, y 購買之數量？
: (3) 有沒有因為預算升高而偏袒某商品的情形發生？

習題：

設商品 X,Y 可相互替代，效用函數為 $g(x,y)=x^{\alpha}+y^{\beta}$ ，其中 $0\leq \alpha,\beta <1$ , x,y >0.

(1) 說明 g(x,y)=C>0 滿足無差異曲線的要求。

(2) 取 $(\alpha,\beta)=(\frac{1}{2},\frac{1}{3}),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}), (\frac{1}{3},\frac{1}{2})$ 三種情況，討論極值點條件與偏袒的問題。

(3) 證明當預算升高時，一般會發生如下偏袒現象

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{ll} \alpha > \beta\quad & \mbox{ {\MdQ\... ....0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MnQ\char 244} } \end{array} \right. \end{displaymath}$

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最後修改日期：9/30/2001