牛頓冷卻定律

翁秉仁

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．作者任教於台大數學系
．本文節錄改寫自作者《微積分講義》

關於物體的冷卻, 牛頓有下面的觀察

「一冷卻體之冷卻速率與『該物溫度及室溫之溫差』成正比」

令此物之溫度為 T(t), 在 t=t₀ 時之溫度為 T₀, 又室溫為 H, 則牛頓冷卻定律為

$\begin{displaymath}T'(t) = -\alpha (T(t)-H)\end{displaymath}$

其中 $\alpha>0$ 為與該物體有關之常數.注意. $-\alpha$ 之負號表示當物溫高於室溫時, 物溫會下降─冷卻. 但當物溫低於室溫時, 物溫會升高（姑且也稱之為「冷卻」）.

用不定積分

$\begin{eqnarray*} &&\int \frac{T'(t)}{(T(t)-H)} \; dt = \int (-\alpha)\; dt\\ &... ... + c \\ &\Rightarrow& \vert T(t)-H\vert = C \cdot e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$

代入 T(t₀)=T₀, 可得

$\begin{displaymath}T(t) = H + (T_0-H) e^{-\alpha(t-t_0)}\end{displaymath}$

例. 人體在死亡後, 溫度調節功能隨即消失, 因此藉由正常體溫 (37℃) 與室溫的比較, 利用牛頓冷卻定律, 可以幫忙判定死亡的時間.

某冬晨, 警局接到報案, 在街頭發現一流浪漢的屍體, 6:30AM時測量其體溫為 18℃, 到7:30AM時, 其體溫已降到 16℃, 若假設室外溫度約維持在 10℃, 且人體正常體溫為 37℃, 令 t₀=6.5 (即 6:30AM), t^* 為死亡時間. 則首先

$\begin{displaymath}16 = T(7.5)= 10 + 8 e^{-\alpha \cdot 1} \end{displaymath}$

推得 $\alpha = -\ln (3/4) \approx 0.287$ , 再代入

$\begin{displaymath}37 = T(t^*) = 10 + 8 e^{-0.287 \cdot (t^*-6.5)}\end{displaymath}$

解得 $t^*\approx 2.26$ , 相當於凌晨 2:16AM.

習題：: 將魚從冰箱冷凍庫(-5℃) 拿出來在室溫 25℃下解凍, 過了一個鐘頭後, 其溫度約為 10℃, 請問若希望在烹調時, 魚溫度至少為 15℃, 請問應在烹調的幾個鐘頭前拿出來解凍？ (Ans.約一個半小時.)

牛頓冷卻定律由於假設室溫 H 是常數,似乎不太合理, 現將 H 「恢復」為時間的函數, 則原式變成

$\begin{displaymath}T'(t)+\alpha T(t)=\alpha \mathrm{H}(t) \end{displaymath}$

欲求 T(t). 這顯然是一階線性微分方程, 一般解為

$\begin{eqnarray*} T(t)&=& e^{-\alpha t}\Big(\alpha\int e^{\alpha t}\mathrm{H}(t)... ...mathrm{H}(t)-e^{-\alpha t}\int e^{\alpha t}\mathrm{H}'(t)\;dt\\ \end{eqnarray*}$

所以物體與室溫的差別為

$\begin{displaymath}T(t)-\mathrm{H}(t)=e^{-\alpha t}\int e^{\alpha (t)}\mathrm{H}'(t)\;dt \end{displaymath}$

假設回到室溫是常數 H, 則易知

$\begin{displaymath}T(t)-\mathrm{H}={C\over {e^{\alpha t}}}\;\rightarrow \; 0 \end{displaymath}$

一個自然的問題是, 物體溫度是不是終究會趨近於室溫? 下面習題告訴我們答案是否定的.

習題：

現假設 $\mathrm{H}(t)=20+5\cdot\sin ({{\pi}\over {12}} t)$ , $\alpha =0.1$ , T(0)=40

(1) 說明 T(t) 的解可以寫成下面的式子

$\begin{displaymath}20+\beta\sin ({{\pi}\over {12}}t-\gamma )+C e^{-\frac{t}{10}}... ...t{\MbQ\char 18}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MbQ\char 98}}\end{displaymath}$

(2) 說明 T(t) 不會趨近於 H(t).

（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

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最後修改日期：9/30/2001