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.原載於科學月刊第二十九卷第三期
.作者任教於台灣師範大學數學系
 

The Joy of π

(The Joy of π)

洪萬生 (David Blatner)

 
 

我們渴望了解 π 通常不是與實際多算一些小數位有關,而是想要知道:像 π 這麼簡單 如圓周與直徑的比何以會表現出這麼複雜的情狀?π 的追求植根於我們對心靈與世界的探險精神上, 也基於我們不斷想試驗人類極根的不可言狀衝動上$\cdots\cdots$

二十幾年前,筆者曾經在《科學月刊》上發表〈中國π的一頁滄桑〉一文, 獲得很多朋友的謬賞,這對當初筆者念茲在茲的數學普及理想,不無鼓舞的作用。 試想要是當時的熱情沒有得到任何掌聲,或許筆者的學術生涯因此改觀。事實上, 筆者年輕時由於一心想效力數學知識的通俗化, 因而似乎極自然地一頭栽入數學史領域尋求資源與靈感。 沒想到現在竟然把「數學史」這個手段當成目的,為數學史而數學史起來了。

即使如此,筆者仍然不敢或忘年少普及數學知識的志業。這些年來, 雖然無法經常抽空撰寫普及性的文字,但遇有同好者著作,總是見獵心喜。 最近筆者曾推薦史都華(Ian Steward)的《大自然的數學遊戲》 (中譯本由天下文化公司出版)給台灣師大數學系大四選修「數學史」的同學閱讀, 結果獲得極大的迴響(筆者將在另文中介紹幾篇心得報告),可見認真規劃、 言之有物的普及讀物,還是很容易找到知音的。

去年(1997)年底,我前往美國新奧爾良(New Orleans)開會, 在舊金山國際機場轉機時購得布萊特諾(David Blatner)所寫的《π的樂趣》 (The Joy of π)。在仔細閱讀過一些章節之後,發現它內容豐富、 趣味盎然而且平易近人,實在是不可多得的一本數學普及讀物。

譬如說吧,作者布萊特諾就以十分平和的語調, 介紹了十九世紀末美國印第安那州議會為一位「化圓為方者」(circle squarer) 背書的故事。所謂「化圓為方」,是指給定一個圓, 以幾何作圖(geometric construction)的方法,求作一個等面積的正方形。 它與「三等分任意角」、「倍立方體」並列為古希臘三大作圖題。 到了十九世紀三0年代之後,這三大問題拜近代數學發展之賜,才一一被證明為不可能。 也因此「化圓為方者」一詞就專門用來指稱那些昧於現代數學知識背景的「數學狂怪」(mathematical crank)。 這樣的人可以說無所不在,即使是現在國內,我們相信有些數學教師還會鼓勵學生對任意角作三等分。

十九世紀美國這位「化圓為方者」的名字叫古德溫(Edwin J. Goodwin),是一位鄉村醫生。 在1888年,也就是在「化圓為方」被德國數學家林得曼(C. L. F. Lindemann)證明不可能的六年後, 古德溫宣稱獲得上帝的教誨而解決了「化圓為方」的問題。更不可思議的, 顯然由於他的遊說,1897年該州下議會議員瑞柯德(Taylor Record)竟然將它提案為第246號法條。 一旦通過,這個法條將允許該州任何人有權利無償地使用古德溫的「發現」, 但是其他州就必須付費了。由於沒有任何一位州議員知道該法案的數學內容是怎麼回事, 所以州議會不久就以67比0無異議通過。不過,令人驚奇的是, 法案竟然附帶保證說古德溫的計算結果是正確的, 因為它還得到《美國數學月刊》(American Mathematical Monthly, 美國數學學會的官方刊物)的認可。該雜誌的確出版了古德溫的論文, 但該法案並沒有說明雜誌編輯曾指出這是應作者的要求。 《美國數學月刊》的處理態度或許並不令人意外, 因為當時有一位州教育督學就非常熱衷極力促成該法案的通過。沒想到投票隔天, 當地地方報紙就評論說是有史以來印第安那州議會所通過的最奇怪法案。 幸好普度大學(Purdue University)數學教授華多(C. A. Waldo)立刻拜會州議會就此事提出質疑, 而報紙也趁機炒作,逼迫州上議會終於在1897年2月12日投票, 作出無限期擱置討論的決議。

類似上述這類極具啟發性的故事之論述,可以說是本書的特色之一。 此外,本書定位既然是數學普及讀物,所以它的「軟性」包裝有大有語不驚人死不休的氣概, 譬如在它的封皮上,我們就可以讀到很多「花邊訊息」:

  1. π的一百萬小數位數包括了99959個0、99758個1、100026個2、100229個3、 100230個4、100359個5、99548個6、99800個7、99985個8以及100106個9;
  2. 日本人Hiroyuki Goto在1995年二月花了九小時背誦了π的位數達四十二萬位數,創造了歷史記錄;
  3. 123456789的順序第一次出現在π的第523551502位數上;
  4. π的前144個位數加起來等於666,而144恰好等於 (6 + 6) x (6 + 6)
  5. 大象的高度(從足到肩)等於 $2 \times \pi \times $象足的直徑。

此外,本書的內文也處處嵌入一些令人驚奇的「花絮」,譬如「π的十億個位數若以平常的形式印刷, 則它的長度將長達一千兩百哩」;再如「如果妳/你運用Gregory-Leibniz級數來計算π的近似值, 結果當你/妳努力計算了五十萬項之後,只會得到三十位數。更不幸的是, 它不會全部正確,事實上,在妳/你所求得的

3.14159065358979324046264338326

中,兩個0及最後的6都錯了。」最後這一則應該算是「數學花絮」, 不懂一點微積分是分享不到的,因為其中就涉及無窮級數收斂快慢的問題。

由此可以證明,本書作者擁有十分豐富的數學與電腦的背景知識,也正是如此, 本書才能呈現風趣、華麗外表之下的實質內容,試看它的目錄:

  • 序:圓與方
  • 導言:為何π?/π的意義
  • π的歷史
  • 查德諾夫斯基兄弟的貢獻
  • π 這個符號
  • π 的個性
  • 化圓為方者
  • 如何記住π的近似值
  • 後語

我們就可以發現:作者盡其所能地在趣味的包裝中,「滲透」了數學的歷史、 文化與知識。儘管在敘述π的滄桑史時,作者把一些中國古代數學家名字拼錯了, 但這無損於他的史識。事實上,在他的「導言」中, 作者就清楚地指出像π的探索這種「知識獵奇」的歷史興味:

吾人渴望了解π經常不是與實際多算一些小數位有關, 而是想要針對下列問題尋求答案: 像π這麼簡單如圓周與直徑的比何以會表現出這麼複雜的情狀。 π的追求植根於吾人對心靈與世界這兩者的探險精神上, 也基於吾人不斷想試驗人類極限的不可言狀衝動上。這就彷彿登聖母峰一樣, 吾人攀爬因為它就在那裡。

是的,自從π分別被勒俊得(A. M. Legendre)、林得曼於1794年、 1882年證明是無理數、超越數之後, 不僅古希臘的著名幾何作圖題「化圓為方」確定不可能之外, 追求π近似值的更多小數位數也必須賦予新的意義。 這種處境在本事愈來愈高強的電子計算機開始介入π值的逼近時, 似乎更顯得迫切。譬如說吧,1949年,計算機ENIAC花了七十小時才計算到808位。 1955年,計算機NORC則只花了十三分鐘就計算到2037小數位。四年之後, 也就是1959年,已經到達一萬多位數了,當年巴黎IBM 704計算到16167小數位。 六0年代開始進入十萬位數。1961年,紐約的IBM 7090花了8.72小時計算到100200小數位。 1966年,巴黎的IBM7030計算到250000小數位。 隔年,同樣是巴黎的CDC 6600計算到500000小數位。 1973年,巴黎的季勞得(J. Guilloud)與鮑耶(M. Bouyer)運用了CDC7600計算一百萬位數, 共花了23.3小時。這是1970年代π僅有的一次逼近, 此後,這個舞台就全部由日本人與查德諾夫斯基(Chudnovsky)兄弟來主導了。

在八0、九0年代,有關π逼近的歷史記錄各有三次。 前者首先由日本T. Tamura和Y. Kanada揭開序幕,1983年,他們兩人利用HITAC M-280花了三十小時, 計算了一千六百萬位數。接著,1988年Kanada利用Hitachi S-820花了六小時, 計算到201326000位數。然後是熱鬧的1989年, 先是查德諾夫斯基兄弟找到四億八千萬位數;Kanada計算了五億三千六百萬位數; 查德諾夫斯基再推進到十億位數。到了1995年,Kanada又推到六十億位數。 隔年,查德諾夫斯基兄弟再攀八十億位數。最後是1997年的記錄, Kanada和他的新合作者Takahashi利用Hitachi SR2201, 只花了二十九小時又多一點就創造了π逼近的歷史新高:五百一十億位數。

隨著計算機超高效能的應用,π逼近的小數位數有更多的神秘規律陸續向我們展示。 有關π十進位小數展開式的「類型」(pattern)究竟如何刻劃, 這是一百多年前不可能的夢想,如今拜計算機之賜,我們對它終於有了比較踏實的了解。 如此看來,有心享受π的樂趣,恰當地對待數學與電算機科學的結合, 的確是當務之急了。

   

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編輯:謝易達 / 校對:黃怡碧 最後修改日期:3/18/2003