蔡聰明 (曹亮吉)

科學哲學家馬赫說：「你無法了解一個理論，除非你知道它是如何發現的。」
對於數學的學習，發現與證明兼備才算完全。

後來，他逐次將文章集結，或整理，或改寫，於是產生下列各著作：

• 《談數學》（民69年，科學出版事業基金會）
• 《益智集》（民69年，科學出版事業基金會）
• 《微積分史話》（民69年，科學出版事業基金會）
• 《數學導論》（民77年，科學月刊社）
• 《微積分》（民79年，歐亞書局）

去年八月更出版：

• 《阿草的葫蘆》（民85年，遠哲科學教育基金會）

這本書是擷取先前工作的精華，經過增補和千錘百鍊得來的， 所以可讀性與趣味性更高。數學通識教材又增添一重要的文獻。 寫一本書所費的勞力與腦力，相當於蓋一棟大廈，我們欣見且敬佩阿草的努力成果， 為台灣的數學教育注入一股清新的活力。

數學是人類文明的一個重要因素，在西方文明中，更占有核心的地位，所以通識教育不能缺少數學，這大家都沒有異議。如何選材，如何舖陳內容，這就見仁見智了。正如好的教學可以有各種不同的風格與魅力，同理好的教材亦然。顯然，阿草已開闢出一條獨特的清幽路徑。

筆者心目中理想的數學教育應展示整個求知的探尋過程：從問題（problem）出發，作知識與思考的總動員，之後得到發現（discovery）或猜測（conjecture），接著是作檢驗（test），即證明（proof）或否證（refutation），最後得到無上妙趣的了悟（understanding）。在進行這個過程時，順便將問題的情況與背景溶入，這包括文化的、歷史的資料，數學家的生平、趣事與美妙的想法等等。我們除了要知道一個定理的證明之外，更重要的是，還要知道定理是如何發現或看出來的。前者是「邏輯上的為什麼」（logically why），後者是「心理上的為什麼」（psychologically why），兩者都要兼顧，不可或缺。

科學哲學家馬赫（E. Mach,1838-1916）說：「你無法了解一個理論，除非你知道它是如何發現的。（You can not understand a theory unless you know how it was discovered.）」對於數學的學習，發現與證明兼備才算完全。

如何達到上述的理想呢？

讓我們考察一下文獻。正規的數學書或文章，絕大多數都只展示邏輯演繹系統，定義定理證明，「亡象而存玄珠」，抽象冰冷得「不食人間煙火」。轉到數學史中去追尋，又只看見到處是史實的堆積，而流於「斷爛朝報」的「集郵式」知識，還是無法解求知之渴。忽聞科學哲學（philosophy of science）是講究科學知識的生長、演化與科學方法論的學問，但是進到裡面，不免又讓人失望了，因為儘是「天馬行空」的迷茫。

似這種落空與失望的感覺，我們在禪宗的歷史中也找到一個例子。禪宗第二代祖師慧可（487-593，達摩是初祖），他在博覽群書之後，每嘆曰：

孔老之教，禮數風規；
莊易之書，未盡妙理。

回到數學教育來，我們應該連結正規數學、數學史與科學哲學，三者合而冶之，這樣或許可以找到比較滿意的解決之道。 哲學家康德（I. Kant, 1724-1804）說：

哲學缺少科學是空的，科學缺少哲學是盲的。

科學哲學缺少科學史是空的，科學史缺少科學哲學是盲的。

圖一：優秀的數學教育應以數學內容為主軸，揉合數學史、科學史與數學哲學，來合理地重建數學知識的發現、試驗與證明的生長過程。

再打個比方來說，我們要儘可能地考察數學發展的全貌：從種子落地、發芽、生長，到開花結果， 這是內在生命機理。另外，我們也要顧及外在的風、雨、陽光與氣候變遷，以便「參贊化育」， 最終是期望達到教育的至高目標：「Teach to think」，點燃學生思想火炬。

如果我們採用上述高標準的觀點，來檢驗《阿草的葫蘆》，我們可以肯定地說：阿草寫得相當成功， 並且已到達爐火純青的境界。筆者在讀得趣味盎然之餘，不忍獨享，於是情不自禁要將它介紹給年輕學子、 中學數學教師以及廣大社會業餘的數學愛好者。對於有心想要進入數學世界，了解數學，品味數學的人， 這是一本絕佳的入門書。對於那些先前被「不當的數學」嚇壞或教怕而得到「數學恐懼症」的人， 筆者更要建議，不妨拿起阿草這本書來讀，給自己一個機會，也許可以重新跟數學和解，開始喜歡數學。 欣賞數學之美跟欣賞精緻藝術的眼光與功力差不多，雖不易建立，但值得培養。 阿草在書中隨時都埋下了數學美感經驗的種子，這是目前數學教育最欠缺的一環。

現在讓我們來考察全書的內容，由表入裡。

首先，一打開書，就覺得清爽悅目，插圖生動精美，有的甚至遠赴國外實地拍攝。更特別的是，版面上的留白很大，也許阿草有意要避免費瑪（Fermat）事件的重演。每一章下方都附有一句小格言，很適切地表達阿草對數學或該章的心得結晶。接著，主文的取材有趣，行文流麗，具有特殊的「阿草風味」，即簡潔中又含智性幽默。

其次，我們觀看內涵。全書一共有十四章，各章基本上是獨立的，並且形成一個圓足的小世界。這樣的好處是，讀者可以從任何一章切入，而不必擔心前後不連貫的問題。從數學的各分支來看，我們可以將全書的內容分類如下：

1. 數學家的故事：這是第一章的內容，講述阿基米得（Archimedes, B.C. 287-212）、 柏努力（Jakob Bernoulli, 1654-1705, Jakob I, Jacques I 或James皆指同一人）、 高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）等四人的得意傑作及其墓碑上所刻的幾何圖形， 由此展開許多有趣數學之討論。值得順便一提的是，物理學家波茨曼（Ludwig Boltzmann，1844-1902）的墓碑上刻的是他的著名公式： 　
   
   
   
   
   其中S表熵（entropy），k為波茨曼常數，W表熱力系統在給定宏觀狀態下所包含的微觀狀態數。 再作一對照：物理定律的數目偏好3，例如克卜勒三定律、牛頓三運動定律、熱力學三定律； 而數學公理偏好5，例如歐氏幾何的五公理，皮亞諾（Peano）自然數的五公理。
2. 天文曆算：這是第三章的內容。從科學史的眼光來看，天文學是數學與物理學的故鄉， 是數學問題與數學發現的豐富泉源。燦爛的星空，行星的運行，季節的變換，除了讓人感受到大自然的規律， 更激起人們無窮的想像力與敬畏之情，於是展開無止境的求知探尋活動。阿草安排這一章，有他的偏好， 也有他的遠見。
3. 幾何學與三角學：這是第二、五、六、七、八章的內容，包括有平面的、立體的與球面的情形。 這部分從取材、觀點、趣味、思考方法，到美的欣賞，都有阿草獨到的領略， 可以補足目前平淡無趣的高中數學。
4. 微積分：這是第四、九章的內容。大自然利用微積分在大地上行事，但是要掌握微積分卻不容易， 微積分變成大一新生最感頭痛的一門課。阿草在第九章短短的三十五頁中， 就將微積分兩千餘年的發展之來龍去脈簡潔地說清楚。因此，筆者建議年輕學子，若第一次要唸微積分， 不妨由第九章切入，精讀，保證可以讓你愉快地、直指本心地進入微積分的堂奧。 對於人生的「第一次」要非常慎重與珍惜。
5. 科學方法論：這是第十、十二、十四章的內容。 科學方法包括統計方法與數學的各種猜測式推理（plausible reasoning）。 後者例如，歸納法、分析與綜合法、類推法、試誤法、推廣、特殊化（或極端化）、 量綱檢驗、對稱性觀察、局部推理、大膽假設、小心求證、想像力、 等等。前者大致又分成三個層次： 一、蒐集資料，二、整理、比較與分析資料，三、拋出假說，推出結論， 解釋既知且預測未知。阿草選取黑龍（Heron）公式（其實是阿基米得首創）、 哥倫布發現美洲大陸、達爾文創立演化論，孟德爾探索遺傳定律等著名例子， 來說明科學方法的運用。這些都是數學史、科學史與科學哲學研究的絕佳題材。 筆者特別喜歡第十二章，關於黑龍公式的探索過程，從發現與證明， 到欣賞與方法論都齊備，講得實在太精彩了。
6. 混沌與碎形：這是第十一章的內容，是近年來新興的一門學問，跟電腦的關係密切。 為了趕上時代，阿草好學不倦，投入時間研讀，再利用通俗的話語介紹給讀者。
7. 數學教育與解題：這是第十二、十三、十四章的內容。 解題訓練是數學教育的核心工作。哲學家叔本華說：

   當一個人被某個問題所困，問題逐漸占據整個身心，如果他能夠找到一條解決的出路， 那麼他就成為一個哲學家。

   此地叔本華所說的問題是指哲學上的大問題。 事實上，我們把「問題」改為「數學問題」，「哲學家」改為「數學家」， 也行得通。準此以觀，數學教育最要緊的是讓學生得到獨立的解題經驗， 從中鍛鍊思想力與毅力。阿草舉了許多例子，實地作解題的「講道說法」， 讀者可先模仿，然後再找出最適合自己的一條道路。 只有當一個人嚐過獨立解題的樂趣後，他才會喜歡數學，並且終身難忘， 導致持久的追尋。

1. 「Dimension」的翻譯問題本書大量使用「因次」與「單位因次」之名稱， 這是從「Dimension」翻譯過來的，筆者認為值得商榷。

   「Dimension」在幾何學、線性代數、拓樸空間與碎形中都出現，通常是指空間的維數」， 例如我們說三維空間或 n 維向量空間。古老一點的譯法，叫做三度空間或 n 度向量空間， 現在已不通行了，但偶而還可以看得到。另外，日本人將「Dimension」譯為「因次」，也有人加以引用， 例如三因次空間。顯然，「維」比「因次」好，而「度」容易跟「溫度」與「角度」的「度」混淆。

   其次在物理學中，探討物理量的單位時也用「Dimension」這個字，例如速度的「Dimension」為LT^-1， 其中L代表長度，T代表時間。此時「Dimension」譯為「量綱」較適切， 最好不要譯成「維」或「因次」或「單位因次」。 日本人並不加以分辨，只要見到「Dimension」，一律譯為「因次」，不管它是在數學或物理學中出現。

   進一步，在物理學中有一個方法叫做「Dimensional Analysis」， 這是利用各物理量之間的「量綱」（dimension）關係，來檢驗一個公式或猜測出一個公式。 此時千萬不可以將「Dimensional Analysis」譯成「維的分析」或「因次分析」（在台灣筆者曾見過這兩種譯法）， 而應該譯為「量綱分析」。

2. 頁11，費瑪最後定理，在1995年已由威列斯（Wiles）證明，但書上卻說「還未確定完全成功」。
3. 頁16補上阿基米得墓碑上的幾何圖形。
4. 頁17補上史帝文（Stevin）墓碑上的說明文字："Wonder en is gheen wonder" （The Marvel is No Marvel或The Miracle is NoMiracle）。
5. 頁19說柏努力墓碑上的三個拉丁字沒刻上去，其實是刻上去了，只是螺線刻錯而已。另外，本頁的等角螺線，圖畫得不正確。
6. 頁37第四個圖，標示為「無名氏的證法」，事實上這是達文西（Leonardo da Vinci）的證法。
7. 頁45的圖，再補上另一半赤道虛線，則較正確而且有立體感。
8. 本書對於伽利略Galileo（名）Galilei（姓），皆按慣例用姓氏Galilei稱呼， 但是我們發現幾乎所有的外文書都採用Galileo。據筆者查究的結果，伽利略是以名字稱呼通行的。 另一位是拿破崙（Napolean）。
9. 頁63補上克卜勒第三定律，因為本書後來經常引用。
10. 頁78中間說：「人口增長呈幾何級數」，而前幾頁都說：「人口增長呈幾何數列」。 馬爾薩斯（Malthus）在1798年的「人口論」裡說，人口的增長呈「Geometric progression」， 糧食的增長呈「Arithmetic progression」，其中progression有譯成「級數」，也有譯成「數列」， 在從前馬馬虎虎。但是，今日級數是指series，數列是指sequence，意義不同，應當要嚴格區分。

11. 頁85有關e的級數表示法應稍加修正。

12. 頁86的圖，左端的地方不正確。同頁下方，常態分布鐘形曲線應改為
    
    
    
    

13. 頁145，蜂巢的「頂面」應為三個全等的菱形，而不是三個全等平行四邊形。 同頁阿基米得球體體積求法之圖，應可作得更好一點。
14. 頁308說，到目前為止還找不到第n個質數的公式。事實上，在1964年Willans就已經找到了。

最後，我們希望阿草不斷地「寫、寫、再寫」，寫出更多的佳作，我們拭目以待。

後記：筆者曾參與阿草在台大數學系主持的「高中數學學習成就優異學生的輔導實驗計畫」，大約有十年之久， 這是筆者跟通識教育結緣的契機。去年筆者在台大開授「微積分與西方文明」的通識課，原打算寫一教本， 但發現工程浩大，又無阿草的勤快，故不知何年才能完成。據筆者所知， 中央大學王九逵教授也寫有《邏輯與數學思維》的通識教本（新竹凡異出版社，83年9月初版）， 相當有特色與精闢的見地。