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.原載於科學月刊第二十八卷第二期
.作者任教於台大數學系
 

阿草的葫蘆
文化活動中的數學

蔡聰明 (曹亮吉)

 
 

科學哲學家馬赫說:「你無法了解一個理論,除非你知道它是如何發現的。」
對於數學的學習,發現與證明兼備才算完全。
打從27年前《科學月刊》創刊(民國59年元月)開始,曹亮吉教授(筆名阿草)就懷著一股熱情,不斷地為《科學月刊》寫稿,致力於數學通識教育,傳播和普及數學知識。最難能可貴的是,他持之以琚A歷久不衰。

後來,他逐次將文章集結,或整理,或改寫,於是產生下列各著作:

  • 《談數學》(民69年,科學出版事業基金會)
  • 《益智集》(民69年,科學出版事業基金會)
  • 《微積分史話》(民69年,科學出版事業基金會)
  • 《數學導論》(民77年,科學月刊社)
  • 《微積分》(民79年,歐亞書局)

去年八月更出版:

  • 《阿草的葫蘆》(民85年,遠哲科學教育基金會)

這本書是擷取先前工作的精華,經過增補和千錘百鍊得來的, 所以可讀性與趣味性更高。數學通識教材又增添一重要的文獻。 寫一本書所費的勞力與腦力,相當於蓋一棟大廈,我們欣見且敬佩阿草的努力成果, 為台灣的數學教育注入一股清新的活力。

數學是人類文明的一個重要因素,在西方文明中,更占有核心的地位,所以通識教育不能缺少數學,這大家都沒有異議。如何選材,如何舖陳內容,這就見仁見智了。正如好的教學可以有各種不同的風格與魅力,同理好的教材亦然。顯然,阿草已開闢出一條獨特的清幽路徑。

筆者心目中理想的數學教育應展示整個求知的探尋過程:從問題(problem)出發,作知識與思考的總動員,之後得到發現(discovery)或猜測(conjecture),接著是作檢驗(test),即證明(proof)或否證(refutation),最後得到無上妙趣的了悟(understanding)。在進行這個過程時,順便將問題的情況與背景溶入,這包括文化的、歷史的資料,數學家的生平、趣事與美妙的想法等等。我們除了要知道一個定理的證明之外,更重要的是,還要知道定理是如何發現或看出來的。前者是「邏輯上的為什麼」(logically why),後者是「心理上的為什麼」(psychologically why),兩者都要兼顧,不可或缺。

科學哲學家馬赫(E. Mach,1838-1916)說:「你無法了解一個理論,除非你知道它是如何發現的。(You can not understand a theory unless you know how it was discovered.)」對於數學的學習,發現與證明兼備才算完全。

如何達到上述的理想呢?

讓我們考察一下文獻。正規的數學書或文章,絕大多數都只展示邏輯演繹系統,定義定理證明,「亡象而存玄珠」,抽象冰冷得「不食人間煙火」。轉到數學史中去追尋,又只看見到處是史實的堆積,而流於「斷爛朝報」的「集郵式」知識,還是無法解求知之渴。忽聞科學哲學(philosophy of science)是講究科學知識的生長、演化與科學方法論的學問,但是進到裡面,不免又讓人失望了,因為儘是「天馬行空」的迷茫。

似這種落空與失望的感覺,我們在禪宗的歷史中也找到一個例子。禪宗第二代祖師慧可(487-593,達摩是初祖),他在博覽群書之後,每嘆曰:

孔老之教,禮數風規;
莊易之書,未盡妙理。
說得真是淋漓盡致,所以他改追隨達摩學禪。

回到數學教育來,我們應該連結正規數學、數學史與科學哲學,三者合而冶之,這樣或許可以找到比較滿意的解決之道。 哲學家康德(I. Kant, 1724-1804)說:

哲學缺少科學是空的,科學缺少哲學是盲的。
科學哲學家I. Lakatos(1922-1974)把它修改為:
科學哲學缺少科學史是空的,科學史缺少科學哲學是盲的。
那麼,優秀的數學教育(或數學通識教育)應以數學內容為主軸(不能打折或避重就輕), 揉合(或整合)數學史、科學史與科學哲學,來合理地重建(rational reconstruction)數學知識的發現、 試驗與證明的生長過程,參見圖一。



圖一:優秀的數學教育應以數學內容為主軸,揉合數學史、科學史與數學哲學,來合理地重建數學知識的發現、試驗與證明的生長過程。

再打個比方來說,我們要儘可能地考察數學發展的全貌:從種子落地、發芽、生長,到開花結果, 這是內在生命機理。另外,我們也要顧及外在的風、雨、陽光與氣候變遷,以便「參贊化育」, 最終是期望達到教育的至高目標:「Teach to think」,點燃學生思想火炬。

如果我們採用上述高標準的觀點,來檢驗《阿草的葫蘆》,我們可以肯定地說:阿草寫得相當成功, 並且已到達爐火純青的境界。筆者在讀得趣味盎然之餘,不忍獨享,於是情不自禁要將它介紹給年輕學子、 中學數學教師以及廣大社會業餘的數學愛好者。對於有心想要進入數學世界,了解數學,品味數學的人, 這是一本絕佳的入門書。對於那些先前被「不當的數學」嚇壞或教怕而得到「數學恐懼症」的人, 筆者更要建議,不妨拿起阿草這本書來讀,給自己一個機會,也許可以重新跟數學和解,開始喜歡數學。 欣賞數學之美跟欣賞精緻藝術的眼光與功力差不多,雖不易建立,但值得培養。 阿草在書中隨時都埋下了數學美感經驗的種子,這是目前數學教育最欠缺的一環。

現在讓我們來考察全書的內容,由表入裡。

首先,一打開書,就覺得清爽悅目,插圖生動精美,有的甚至遠赴國外實地拍攝。更特別的是,版面上的留白很大,也許阿草有意要避免費瑪(Fermat)事件的重演。每一章下方都附有一句小格言,很適切地表達阿草對數學或該章的心得結晶。接著,主文的取材有趣,行文流麗,具有特殊的「阿草風味」,即簡潔中又含智性幽默。

其次,我們觀看內涵。全書一共有十四章,各章基本上是獨立的,並且形成一個圓足的小世界。這樣的好處是,讀者可以從任何一章切入,而不必擔心前後不連貫的問題。從數學的各分支來看,我們可以將全書的內容分類如下:

  1. 數學家的故事:這是第一章的內容,講述阿基米得(Archimedes, B.C. 287-212)、 柏努力(Jakob Bernoulli, 1654-1705, Jakob I, Jacques I 或James皆指同一人)、 高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)等四人的得意傑作及其墓碑上所刻的幾何圖形, 由此展開許多有趣數學之討論。值得順便一提的是,物理學家波茨曼(Ludwig Boltzmann,1844-1902)的墓碑上刻的是他的著名公式:  

    \begin{displaymath}S=k\log W\end{displaymath}

    其中S表熵(entropy),k為波茨曼常數,W表熱力系統在給定宏觀狀態下所包含的微觀狀態數。 再作一對照:物理定律的數目偏好3,例如克卜勒三定律、牛頓三運動定律、熱力學三定律; 而數學公理偏好5,例如歐氏幾何的五公理,皮亞諾(Peano)自然數的五公理。
  2. 天文曆算:這是第三章的內容。從科學史的眼光來看,天文學是數學與物理學的故鄉, 是數學問題與數學發現的豐富泉源。燦爛的星空,行星的運行,季節的變換,除了讓人感受到大自然的規律, 更激起人們無窮的想像力與敬畏之情,於是展開無止境的求知探尋活動。阿草安排這一章,有他的偏好, 也有他的遠見。
  3. 幾何學與三角學:這是第二、五、六、七、八章的內容,包括有平面的、立體的與球面的情形。 這部分從取材、觀點、趣味、思考方法,到美的欣賞,都有阿草獨到的領略, 可以補足目前平淡無趣的高中數學。
  4. 微積分:這是第四、九章的內容。大自然利用微積分在大地上行事,但是要掌握微積分卻不容易, 微積分變成大一新生最感頭痛的一門課。阿草在第九章短短的三十五頁中, 就將微積分兩千餘年的發展之來龍去脈簡潔地說清楚。因此,筆者建議年輕學子,若第一次要唸微積分, 不妨由第九章切入,精讀,保證可以讓你愉快地、直指本心地進入微積分的堂奧。 對於人生的「第一次」要非常慎重與珍惜。
  5. 科學方法論:這是第十、十二、十四章的內容。 科學方法包括統計方法與數學的各種猜測式推理(plausible reasoning)。 後者例如,歸納法、分析與綜合法、類推法、試誤法、推廣、特殊化(或極端化)、 量綱檢驗、對稱性觀察、局部推理、大膽假設、小心求證、想像力、 $\cdots\cdots$等等。前者大致又分成三個層次: 一、蒐集資料,二、整理、比較與分析資料,三、拋出假說,推出結論, 解釋既知且預測未知。阿草選取黑龍(Heron)公式(其實是阿基米得首創)、 哥倫布發現美洲大陸、達爾文創立演化論,孟德爾探索遺傳定律等著名例子, 來說明科學方法的運用。這些都是數學史、科學史與科學哲學研究的絕佳題材。 筆者特別喜歡第十二章,關於黑龍公式的探索過程,從發現與證明, 到欣賞與方法論都齊備,講得實在太精彩了。
  6. 混沌與碎形:這是第十一章的內容,是近年來新興的一門學問,跟電腦的關係密切。 為了趕上時代,阿草好學不倦,投入時間研讀,再利用通俗的話語介紹給讀者。
  7. 數學教育與解題:這是第十二、十三、十四章的內容。 解題訓練是數學教育的核心工作。哲學家叔本華說:
    當一個人被某個問題所困,問題逐漸占據整個身心,如果他能夠找到一條解決的出路, 那麼他就成為一個哲學家。
    此地叔本華所說的問題是指哲學上的大問題。 事實上,我們把「問題」改為「數學問題」,「哲學家」改為「數學家」, 也行得通。準此以觀,數學教育最要緊的是讓學生得到獨立的解題經驗, 從中鍛鍊思想力與毅力。阿草舉了許多例子,實地作解題的「講道說法」, 讀者可先模仿,然後再找出最適合自己的一條道路。 只有當一個人嚐過獨立解題的樂趣後,他才會喜歡數學,並且終身難忘, 導致持久的追尋。
下面筆者要就閱讀本書之所見,提出意見與補充建議,順便也作勘誤。

  1. 「Dimension」的翻譯問題本書大量使用「因次」與「單位因次」之名稱, 這是從「Dimension」翻譯過來的,筆者認為值得商榷。

    「Dimension」在幾何學、線性代數、拓樸空間與碎形中都出現,通常是指空間的維數」, 例如我們說三維空間或 n 維向量空間。古老一點的譯法,叫做三度空間或 n 度向量空間, 現在已不通行了,但偶而還可以看得到。另外,日本人將「Dimension」譯為「因次」,也有人加以引用, 例如三因次空間。顯然,「維」比「因次」好,而「度」容易跟「溫度」與「角度」的「度」混淆。

    其次在物理學中,探討物理量的單位時也用「Dimension」這個字,例如速度的「Dimension」為LT-1, 其中L代表長度,T代表時間。此時「Dimension」譯為「量綱」較適切, 最好不要譯成「維」或「因次」或「單位因次」。 日本人並不加以分辨,只要見到「Dimension」,一律譯為「因次」,不管它是在數學或物理學中出現。

    進一步,在物理學中有一個方法叫做「Dimensional Analysis」, 這是利用各物理量之間的「量綱」(dimension)關係,來檢驗一個公式或猜測出一個公式。 此時千萬不可以將「Dimensional Analysis」譯成「維的分析」或「因次分析」(在台灣筆者曾見過這兩種譯法), 而應該譯為「量綱分析」。

  2. 頁11,費瑪最後定理,在1995年已由威列斯(Wiles)證明,但書上卻說「還未確定完全成功」。
  3. 頁16補上阿基米得墓碑上的幾何圖形。
  4. 頁17補上史帝文(Stevin)墓碑上的說明文字:"Wonder en is gheen wonder" (The Marvel is No Marvel或The Miracle is NoMiracle)。
  5. 頁19說柏努力墓碑上的三個拉丁字沒刻上去,其實是刻上去了,只是螺線刻錯而已。另外,本頁的等角螺線,圖畫得不正確。
  6. 頁37第四個圖,標示為「無名氏的證法」,事實上這是達文西(Leonardo da Vinci)的證法。
  7. 頁45的圖,再補上另一半赤道虛線,則較正確而且有立體感。
  8. 本書對於伽利略Galileo(名)Galilei(姓),皆按慣例用姓氏Galilei稱呼, 但是我們發現幾乎所有的外文書都採用Galileo。據筆者查究的結果,伽利略是以名字稱呼通行的。 另一位是拿破崙(Napolean)。
  9. 頁63補上克卜勒第三定律,因為本書後來經常引用。
  10. 頁78中間說:「人口增長呈幾何級數」,而前幾頁都說:「人口增長呈幾何數列」。 馬爾薩斯(Malthus)在1798年的「人口論」裡說,人口的增長呈「Geometric progression」, 糧食的增長呈「Arithmetic progression」,其中progression有譯成「級數」,也有譯成「數列」, 在從前馬馬虎虎。但是,今日級數是指series,數列是指sequence,意義不同,應當要嚴格區分。

  11. 頁85有關e的級數表示法應稍加修正。

  12. 頁86的圖,左端的地方不正確。同頁下方,常態分布鐘形曲線應改為

    \begin{displaymath}
y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2}
\end{displaymath}

  13. 頁145,蜂巢的「頂面」應為三個全等的菱形,而不是三個全等平行四邊形。 同頁阿基米得球體體積求法之圖,應可作得更好一點。
  14. 頁308說,到目前為止還找不到第n個質數的公式。事實上,在1964年Willans就已經找到了。
其他更微小的缺點,我們就不提了。

最後,我們希望阿草不斷地「寫、寫、再寫」,寫出更多的佳作,我們拭目以待。

後記:筆者曾參與阿草在台大數學系主持的「高中數學學習成就優異學生的輔導實驗計畫」,大約有十年之久, 這是筆者跟通識教育結緣的契機。去年筆者在台大開授「微積分與西方文明」的通識課,原打算寫一教本, 但發現工程浩大,又無阿草的勤快,故不知何年才能完成。據筆者所知, 中央大學王九逵教授也寫有《邏輯與數學思維》的通識教本(新竹凡異出版社,83年9月初版), 相當有特色與精闢的見地。

   

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編輯:謝易達 / 校對:黃怡碧 最後修改日期:3/18/2003