關孝和


 
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關孝和(Seki Takakazu,約1642∼1708年),日本數學家,和算時期承先啟後的大家,發展筆算代數、行列式,創立追求圓周率的新方法,並得到球體積公式。

日本從大化革新開始,先後派遣隋使,遣唐使及留學生到中國,曆算之學也隨著諸種文物輸往日本。這期間中國的主要算書日本都有,但是數學並沒有相應的水準。

十六世紀末,豐臣秀吉征韓,中國文物第二次大量輸往日本,其中包括了《算學啟蒙》及《算法統宗》這兩本算書,受其影響,日本發展了獨具風格的和算,直到明治維新之後,才因與西方接觸而有改變。

日本人自己的第一本數學著作《割算術》(1622年),就像《算法統宗》,主要也是介紹珠算的。另一本受《算法統宗》影響的《塵劫記》,其1641年版的特色是附有徵答問題。這種問題稱為「遺題」,解了「遺題」,再提新的問題,就稱為「遺題繼承」。遺題繼承在和算中逐漸形成風尚,也使和算逐漸超越實用的領域,而邁向高深數學的研究。

中國的天元術原本是利用算籌立方程式,解方程式的。日人將其解讀,由澤口一之寫成《古今算法記》(1671年)。 關孝和發揮遺題繼承的精神,著成了《發微算法》一書,將天元術的內容,利用省略符號,表成筆算式的代數。 大致說來,關孝和的代數就是多項式及其方程式的推演與計算,只不過用的是甲、乙、丙等與現代截然不同的符號。 代數筆算化是和算的重大成就之一,也標示著和算從中國數學脫胎而自主的一個里程碑。

關孝和原為內山氏(在今群馬縣與長野縣之交)之後,但過繼關家為養子。為江戶德川幕府直屬之士。

除了發展筆算代數外,關孝和還為了解三個聯立的二次方程式,而創造了三階行列式,並推廣到四、五階。 此外,他也發展了求得「方垛」kp之和 $1^p+2^p+\cdots+n^p$方法。

和算另一大成就是有關圓與球的研究,也就是和算後期所稱為「圓理」。

和算求圓周率的方法和Archimedes的一樣。從直徑為1的圓內接正四邊形開始, 利用公式 $a^2_{2m}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{1-a_m^2})$逐次計算內接正m邊形的一邊長am。 設內接正2n邊形的總長是 sn(=2na2n)。和算家曾算到s17, 實際計算得到圓周率9位正確的小數,然而他們不知道正確到什麼程度,而取π值為3.1415。

到了關孝和,圓周率的求法有了革命性的改變。由 s2,s3,…,s17, 他計算兩和之差 d3=s3-s2d4=s4-s3,…, d17=s17-s16,及這些差的兩兩之比 $\frac{d_4}{d_3}$, $\frac{d_5}{d_4}$, …, $\frac{d_{17}}{d_{16}}$。 他發現這些比值逐漸變小,但幾乎都相等。因此為了求得π的近似值, 而假定 $\frac{d_{17}}{d_{16}}$ 以下的比值都相等。如此, 則 $\pi=s_{16}+d_{17}+d_{18}+d_{19}+\cdots$ 可寫成為等比級數之和, 而得

\begin{displaymath}\pi\doteq s_{16}+\frac{(s_{17}-s_{16})\times(s_{16}-s_{15})}{(s_{16}-s_{15})-(s_{17}-s_{16})}=3.14159265359\end{displaymath}

使圓周率增加到 11 位,可惜關孝和也無法確定如此之準確度。

關孝和的大弟子建部賢弘(Takebe Katahiro,1664∼1739年)做進一步的研究,一樣只算到 s17, 卻可得 π 的小數到 40 位,但他一樣無法確定其準確度。建部賢弘還得到冪級數的展開,把和算帶往微積分的途徑。然而可惜的是,誤差估計,或推而廣之,一般証明的觀念與能力的欠缺,卻是整個和算圓理中最弱的一環,因此和算終究未能進入微積分的殿堂。 (關孝和的球體積公式是猜到的,而不是理論推得的!)

(節錄自科學月刊第十八卷第二、第三期的文章《和算──日本的傳統數學》。)

 
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(撰稿:曹亮吉/台大數學系)

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編輯:李渭天 最後修改日期:6/7/2002