Poncelet, Jean Victor
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Poncelet (1788∼1867)生於 Metz,卒於巴黎,法國數學家, 是使射影幾何在定性方面獨立成為一門學問的奠基者。

Poncelet 於1810年從 Ecole Polytechnique 畢業,主修軍事工程。 1812年加入了法國陸軍,擔任工程官。正好就在這一年,拿破崙率軍遠征俄國, 拖到冬天才攻入莫斯科,但它已是個空城。 法軍只得在大雪中撤退,Poncelet 中途被俘,在冰天雪地中徒步四個月後, 關入牢裡。 1814年拿破崙退位,吃牢飯一年半載的 Poncelet 才得回到法國。 在牢裡 Poncelet 開始研究投影幾何。文藝復興時畫家為了畫得準確, 研究起透視原理,發現了如何把想像中天地相合之無窮遠處畫到有限的畫面上。 將透視原理推廣成純幾何的想法就是投影變換,研究投影變換及其不變量 (點,直線,交點,錐線等都是投影不變量)就是投影幾何。 不過在十八世紀結束之前,投影幾何的題材不多, 大家都將之視為是歐式綜合幾何的一部份,並未加以重視。

Poncelet 研究投影幾何的結果,重新創新一個有系統的新幾何, 射影幾何學並於1822年發表。射影平面除了歐氏平面外,還含有許多無窮點。 它的主要想法強調三個觀點: 一.把投影的想法擴張成射影的想法; 一個射影變換就是由幾個投影變換所合成的。 射影幾何研究的是射影幾何之下的不變量, 研究的方法是先尋求一圓形的最簡射影等價,然後加以研究。 二.連續原理,亦即,在連續變動之下,射影性質是不變的。 譬如在連續變動中橢圓可變成拋物線或雙曲線, 因此三者之間必有共同的射影性質。 三.對偶原理,亦即,在一有關射影平面的定理敘述中,若將「點」 改成「直線」,「直線」改成「點」,「共線」改成「交點」, 「交點」改成「共線」,則新敘述不但有意義,而且是個定理。

Poncelet 使射影幾何在定性方面成為獨立的學問,等到Möbius, Plucker,Cayley 等人引入坐標系統後。無窮遠點與一般點就沒有特別不同 (兩者在適當射影變換之下可以互換, 連續原理與對偶原理變成是坐標系統的自然結果,而射影變換, 也可用坐標變換來呈現。至此,射影幾何不但定性清楚,而且定量可得, 就成了成熟的學問。

在牢裡,Poncelet 除了構思射影幾何外,他還注意到俄國人所用的算盤, 每粒有十個算珠。回法國後,他把俄式算盤用在算術的教學上。 他先回家鄉 Metz,後來成為軍校力學的教授。1830年轉到巴黎大學, 最後回母校 Ecole Polytechnique 擔任校長。

本文大部分節錄自曹亮吉的《數學導論》,科學月刊社

 
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Poncelet
射影幾何
 

(撰稿:曹亮吉/台大數學系)

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編輯:康明軒 最後修改日期:6/7/2002