Poincare, Jules Henri
彭加勒

 
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Poincaré(1854∼1912)生於法國 Nancy,卒於巴黎,法國數學家。工作橫跨數學與科學多領域,影響廿世紀數學甚鉅,被目為史上最後一位數學通才。

Poincaré 家族顯赫,堂弟 Raymond Poincaré 是多任的法國總理,而且是帶領法國渡過第一次世界大戰的總統。不過當英國數學家與哲學家 Russell 被問及當代法國偉人時,他所回答的 Poincaré 卻是超越時代,在學術上驚才絕豔的 Henri。

Poincaré 從小在各種學科都表現優秀,在數學上更是被稱為「怪物」的資優生。19歲進入綜合工科學校(École Polytechnique),數學表現遙遙領先同儕。不過由於他小時感染白喉,加上先天肌肉運作不很協調,他在體育、美術、音樂上的表現就相當差勁。更令人驚訝的是他的視力很差,因此上課完全靠聽力來進行,幸好他有著非凡的記憶力與驚人的空間直覺,在知識的掌握與學習上反而另闢蹊徑,以他獨特的「內在之眼」見人之所未見。

1875年他畢業後,進入礦業學校(École des Mines)立志成為工程師,但是他的數學天分,還是讓他走回數學的道路。1879年,他在 Hermite 指導下,在巴黎大學取得博士學位,隨即應聘到 Caen 大學教書。1881年,他27歲時轉到巴黎大學任教,一直到他過世。

Poincaré 的數學工作跨越相當多領域,大略綜述如下:

  1. 自守函數(automorphic function):
    Poincare 早期最主要的工作集中在自守函數的研究,其中牽涉到複變、微分方程、黎曼面、群論的知識。這個主要由他所開拓的領域(還有 Klein),涵蓋了十九世紀最重要的數學課題之一──橢圓函數論。運用其中的 Fuch 函數,可以求得高次多項式的公式解。有趣的是,他命名為 Fuchs 函數的這類函數,被德國數學家 Klein 指出他已經研究過了。於是 Poincaré 幽默地將另一類 Klein 從未涉及的自守函數,命名為 Klein 函數。

  2. 動力系統 (dynamical system) 與渾沌 (chaos) 的預見:
    1887年瑞典國王 Oskar 二世懸賞徵答,以解決天體力學中的 n 體問題。Poincaré 以他在三體問題的研究,獲得大獎, 但是他的內容有誤,一直到1890年修訂版才問世。這個重要的錯誤,導致 Poincaré 以定性而非定量的方式重新探討這個艱難的問題,並開啟了廿世紀動力系統定性理論的先河。近日流行的渾沌理論,雖然另有起源,但是其數學理論則為動力系統的一支,許多 Poincaré 使用的詞彙(如 stability、cyclic solution、Poincaré map、homoclinic point 等……),今日都已經成為標準用法。

    另外,Poincaré 在天體力學的成就,總結在他《天體力學方法》(Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, 1892-1899)三冊,《天體力學講義》(Legous de mecanique celeste, 1905-1910)三冊,他的傳記作者及數學家 Darboux,稱讚前者繼 Laplace《天體力學》後,為整個領域開拓了一個新紀元。

  3. 代數拓樸的催生:
    由於自守函數與 n 體問題的研究,Poincaré 心中開始醞釀它們恰當的幾何基礎,1895年他出版《位相分析》(Analysis situs) 正式為代數拓樸吹起號角,提出基本群 (fundamental group)、同調群 (homology group)、Poincaré 對偶性質(Poincaré duality)、三角分割 (triangulation) 等新觀念,此後40年間代數拓樸的蓬勃發展,幾乎都是以 Poincaré的工作與構想為基礎。一直到今日,所謂
    三維 Poincaré 猜測:
    若一三維連通緊緻無邊流形之基本群為 1,則它必為圓球。
    仍然是幾何領域最具挑戰性的猜測(更高維的 Poincaré 猜測,已經被 Smale 與 Freedman 解決,他們並都因此榮獲費爾茲獎)。

  4. 其他工作:
    Poincaré 至少還催生了多複變函數論的領域;機率論的遍歷性假設(應用到統計力學);在代數幾何的代數曲線方面,澄清義大利學派的迷團;研究數論裡丟番圖問題的有理點;流體力學中旋轉流體之平衡解(之後應用到天體演化之宇宙學);由於研究電子運動,他得到許多與愛因斯坦狹義相對論相同的結果,(只是 Poincaré 還受限於舊以太介質的觀念);另外他在物理及其他科學領域也有許多成果,這種非凡的成就讓他成為法國科學院唯一橫跨所有分組──幾何,力學,物理,地學與航海學的院士。

Poincaré 是一個相當獨立的數學家,終身沒有一個學生。他的數學行文也經常因為略帶混淆卻又規模宏大而引人詬病,Dieudonne 就曾經埋怨說,因為 Poincaré《位相分析》的不清不楚,使它在數學發展上延宕太久。

行有餘力的 Poincaré,為公眾所寫的科學普及文章卻是異常流利,他的三本科學哲學著作結集《科學與假說》(1901),《科學的價值》(1905) 和《科學與方法》(1908),十分暢銷並被譯成多種文字流傳,他還因為著作的文學成就而獲選為法蘭西學院 (Académie française) 院士(法國文人作家的最高榮譽)。

在這些書中,可以看到 Poincaré 的數學思想。他嘲諷 Frege、Russell 的邏輯主義思想,也不喜歡 Hilbert 的形式主義思想,大力強調在數學研究中,邏輯雖是必要的驗證工具,但卻只有依賴我們的直覺,才能發明或確認可靠而正確的數學對象或觀念。就這點而言,他是後來直覺主義的先驅者。

另外他在科學哲學中的「約定論」(conventionalism),也讓他這位純數學家始終在廿世紀科學哲學論辯中不曾缺席(另一位是 Gödel),尤其近日「科技研究」(science study) 強調科學知識中的權力因素,Poincaré 的想法,又多少重新受到注目。

本文參考資料:(1)大英百科全書; (2)MacTutor數學史檔案網站 ;(3)Bell, E.T. 《大數學家》,九章出版社;(4)《Dictionary of Scientist》, Oxford University Press。

 
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(撰稿:翁秉仁/台大數學系)

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編輯:李渭天 最後修改日期:6/7/2002