Kurt Godel
哥德爾

 
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Godel(1906∼1978)生於現捷克之 Brno,卒於普林斯頓。Godel 是廿世紀最偉大之數理邏輯學家,其不完備定理是廿世紀最具啟發性的思想發現之一。

Godel 自小便很好奇,青少年時即對數學、哲學、語言與歷史產生極大的研究熱誠。他在維也納大學原主修理論物理,後轉回數學,並參與 Schlick(石里克)領導的「維也納學圈」,對數學與科學作本質的哲學探索,1928年因聽了 Brouwer 的演講,乃致力於數理邏輯的研究。

自19世紀中,由於非歐幾何的確立、分析嚴格化的要求與羅素悖論的出現,數學基礎的問題吸引許多一流數學家的眼光, 當時數學/哲學家熱切地想將數學確定性的大廈奠基於某種不可懷疑的基礎上,雖然多數人都很樂觀,但是從 Hilbert 與 Ackermann 在1928年提出下列的未解問題: 「一階邏輯是否完備(complete)或可決定(decidable)?」,顯示整個基礎化計畫的進度十分緩慢。

1929/30年 Godel 初試啼聲,漂亮地在他的博士論文中證明一階邏輯的完備性,給 Hilbert 的計畫打下一劑強心針, 但是不久後(1931),Godel 卻證明了他最知名的「不完備定理」:

設S為一包含算術系統的公理系統,若 S 相容(consistent,即不自我矛盾), 則 S 不完備(即在 S 中有些敘述為真,卻無法由 S 的公理推導出來)。

徹底崩毀了基礎化計畫。這一前一後兩個關於完備性的定理,使數學界(尤其是 Hilbert 學派)戲劇性地經歷烈火寒冰般的巨變。Godel 也因此聲名如日中天。1933年他應邀訪美講學演說,此行他結識日後的摯友愛因斯坦。

30年代的歐洲瀰漫著法西斯的氣氛,Godel 亦師亦友的 Schlick 也因此被刺殺,這個噩耗使他陷入精神沮喪,終其一生困擾著他的研究生活。大戰前夕,他完成另一個重要的工作─證明選擇公理與連續統假設皆與ZF集合論相容。1940年他經由俄羅斯、日本到達美國,從此定居於普林斯頓。

Godel 在美國的研究重心,逐漸轉移到其他方面。由於與愛因斯坦時相往來,40年代末,Godel 致力於探討廣義相對論與時間的意義,證明循環時間與愛因斯坦方程並無矛盾(他還因此在1950年的國際數學家會議提出報告)。另外,Godel 一直從事於哲學的深度思考,專心研讀 Leibniz、康德、Husserl(胡賽爾)等的著作,留下的哲學思考筆記無數,還沒有充分地編註印行。Godel 晚年(1971年起)時常與華裔邏輯/哲學家王浩討論,並因而促成王浩撰寫《Reflection on Kurt Godel》的佳話。

Godel 個人包辦了數理邏輯幾個經典定理,並為整個領域帶來革命性的風貌,堪稱是廿世紀最偉大的數理邏輯學家。尤其是他的「不完備定理」,由於暗示了一個理性系統不可能是全知的想法,經常被引申(或過度引申)到其他領域。例如:自然是無法被人類瞭解;語言是沒有界限的;心靈無法認識自己等。非科學家最常引用的數學定理,竟然如此晦澀,也該算是廿世紀的數學奇談了。

本文參考資料:(1)王浩,《Reflection on Kurt Godel》(2)大英百科全書 。 (3)MacTutor 數學史檔案網站:Godel

 
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(撰稿:翁秉仁/台大數學系)

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最後修改日期:6/7/2002