Fermat, Pierre de
費瑪

 
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費瑪(1601年8月20日∼1665年1月12日)出生於一個皮革商的家庭,位在法國的 Toulouse 附近。他在 Toulouse 大學讀法律,畢業後的正業是律師、宮庭顧問,並且在1631年成為 Toulouse 地區的議員。

在忙碌的正業之外,數學是他的業餘嗜好。他利用空閒的時間研究數學,並且將所得的結果,寄給朋友,互相討論,或保留著沒有發表。他的稿件,在他死後由其兒子在1679年出版,這就是我們所知道的費瑪的著作《Varia Opera》。

西方世界經歷十五、十六世紀文藝復興的蘊釀,在十七世紀初,正是各門學問突破之際。尤其是處在微積分要誕生,科學革命要發生的前夕,費瑪在許多學問分支都扮演著開路先鋒的關鍵性角色,他的主要貢獻領域有:解析幾何、微積分、機率論、光學以及數論。

解析幾何:
費瑪與笛卡兒 (Descartes) 兩個人獨立地發明解析幾何,但是方向正好相反。費瑪是由方程式出發,走向圖形。他說:「當我們發現兩個未知量的一個方程式,就可以探求它的圖形,這不外是一條直線或曲線。」解析幾何為往後微積分的誕生奠下良好的基礎。

微積分:
費瑪由求極值問題切入,不知不覺走到了微分法的門口。牛頓讀到費瑪的作品,如觸電一般,從中提煉出真正的微分法。費瑪也利用動態窮盡法求得許多積分,例如:

\begin{displaymath}\int_a^b x^n dx=\frac{1}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1})\end{displaymath}

機率論:
有兩個賭徒賭博,但賭到半途,有事必須終止賭局,但不知要如何才是公平地瓜分賭金。於是有人就去請教費瑪,在1654年費瑪和巴斯卡 (Pascal) 通信討論,解決了這個問題,這就是著名的瓜分賭金問題。有些數學史家就把1654這一年與這件事,當作是機率論的起源。

光學:
費瑪研究光學的折射現象,提出最短時間原理,由此推導出折射定律。這可以看作是變分學之始,後來一路發展到古典力學的 Hamilton 最小作用量原理,將力學統合在單一原理之下,美麗已極!
數論:
費瑪最輝煌的成就在於數論。最重要的三個定理如下:

費瑪的兩平方和定理:
任何形如 4n+1 的質數都可以唯一表成兩個平方數之和。
費瑪小定理:
p 為一個質數並且 a 為一個整數。若 p 不可整除 a,則

\begin{displaymath}a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\end{displaymath}

費瑪最後定理:
n 為大於 2 之整數,則方程式 xn + yn = zn 沒有正整數解。

對於這個最後定理,費瑪在他的書頁中寫道(約1637年):

我發現了一個美妙的證明,但由於空白太小,而沒有寫下來。

就這樣一句話,讓後來的數學家忙碌了357年,也犯過許多錯誤,終於在1994年由 A. Wiles 提出正確的證明,終結了「這隻會生金蛋的天鵝」。(Hilbert之語)

由於費瑪對數學的重大貢獻,後人尊稱他為「業餘數學家之王」,數學史家 E.T. Bell 稱讚他為「大師中的大師」(A master of masters),簡直比數學家還要數學家!Toulouse 的市政廳還立有費瑪與繆思女神 (Muse) 並坐在一起的銅像。

 
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(撰稿:蔡聰明/台大數學系)

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最後修改日期:6/7/2002