Eudoxus of Cnidus
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Eudoxus(約-408∼-355年),希臘天文學家及數學家,以同心球理論呈現行星的複雜運動,以窮盡法研究面積與體積,創比例論解決不可共度的問題,使希臘的數學完全轉向幾何。

Eudoxus 生於小亞細亞愛琴海岸的 Cnidus。長大後到雅典柏拉圖學院求學。由於家貧,只能找到雅典外港 Piraeus 較便宜的住家,每天上學來回共要走16公里路。畢業後,他到埃及再學天文,然後轉往比家鄉更北的海岸地方 Cyzicus,建立自己的學院。

柏拉圖從美學的觀點認定行星軌道一定是個完美的圓,但實際的觀察又不完全如此。Eudoxus 提出同心球理論來拯救老師柏拉圖的觀點:對太陽系的每個星球而言,都有三個或四個想像中的同心球(這種同心球指的都是球面)與之相應,他們各繞一不同的轉軸作等速運動,但都是以地球(想成一點)為其共同的中心點。這個星球(想成一點)在最媦h同心球(相對於轉軸)的赤道上,最媦h同心球的轉軸延伸而附著於第二媦h的同心球上,因此第二同心球的轉動影響第一轉軸,也因此影響該星球的運動;同樣地,第二轉軸附著在第三同心球上……。Eudoxus 對每一行星選擇適當大小的同心球,轉軸及旋轉速度,就可以呈現該行星的實際運動。如此,完美的圓還是佔著理論的中心地位。

Eudoxus 認為圓可視為其內接正多邊形的極限,而兩圓同邊數之內接正多邊形的面積比等於半徑平方比,因此做為極限的兩圓,其面積比也要等於半徑平方比。而圓之視為其內接正多邊形的極限是說,圓與內接正多邊形之間的面積差,會隨著邊數的一再倍增,而一再縮減一半以上。這樣的觀點就是典型的窮盡法。用窮盡法,Eudoxus 也證明了柱與同底等高之錐兩者的體積比為 3:1。Eudoxus 之後,像 Archimedes 等希臘數學家也用窮盡法研究面積與體積。

在 Eudoxus 之前的畢氏學派認為任何兩長度都是可共度的,亦即兩者相比是個有理數。然而 $\sqrt{2}$ 的出現(等腰直角三角形斜邊與一邊之比),使幾何上的比例問題成了難題,成了禁忌,希臘的數學產生了危機。

比例論的目的在探討兩個比例的大小或相等關係。比例論相當複雜,不過用現代的語言來說,大略如下:兩比例之不相等,與「兩者之間必夾有有理數」是相當的;相等,則與「兩者要同大(或同小)於任一給定的有理數」是相當的。

比例論出現後,重為幾何安下基石;不但如此,幾何學反過來可用以表示數及解釋其間的關係,如 Euclid《原本》第二卷的幾何式代數,以及第七卷到第九卷的數論(第五卷為比例論本身)。可以說,Eudoxus 以後,幾何學變成西方數學的主流,其後再經 Euclid 的整理,更成為西方數學的傳統。

比例論雖然解決了不可共度的問題,但卻不承認兩量之比是個數。希臘的數學家一直缺乏對無理數有確切的認識,以及明快的處理,因此,在數與代數方面是有缺陷的。

本文部份節錄自曹亮吉的《數學導論》,遠哲基金會;部份則參考 Asimov 的《Biographical Encyclopedia of science and techonology》, Pan Reference Books。

 
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(撰稿:曹亮吉/台大數學系)

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編輯:石莉君 / 校對:康明軒 最後修改日期:6/7/2002