Cayley, Arthur
凱里

 
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Cayley(1821∼1895),生於 Richmond,卒於劍橋。英國代數學家,以不變量 (invariants) 的理論而著名。 不變量的觀念對近代物理很重要,尤其是在相對論方面。物理的理論有時會更易,但不變量卻是純數學中長久的一環。

他從劍橋三一學院畢業以後,1846年他25歲的時候離開劍橋。由於不容易找到工作,他轉而去作律師,但他不愛錢, 只賺到足夠使他能繼續自己的工作的程度。14年以後他才離開律師的工作。在此期間,他繼續發表數學論文。

不變量的想法早在 Lagrange(拉格朗日)的時候就有了, 但他和高斯都沒有看出這個簡單的代數現象能發展成巨大的理論。 我們知道,二次方程 ax2+2bx+c=0 有兩等根的充要條件是 b2-ac 等於 0。 作變數變換 $y = \frac{(px+q)}{(rx+s)}$,即 $x = \frac{(q-sy)}{(ry-p)}$, 則新方程形如 Ay2 + 2By + C = 0,新的係數 A, B, C 可以用舊的 a, b, c 表示如下:

\begin{eqnarray*}
A &=& as^2 - 2bsr + cr^2 \\
B &=& -aqs + b(qr+sp) - cpr \\
C &=& aq^2 - 2bpq + cp^2
\end{eqnarray*}


由此可知

B2 - AC = (ps-qr)2 (b2-ac)

我們稱 b2-acx 的二次方程的判別式,因此 y 的二次方程的判別式為 B2-AC,而上式顯示了變換後方程的判別式等於原來方程的判別式乘上因子 (ps-qr)2,這只與變換 $y=\frac{(px+q)}{rx+s}$ 的係數 p, q, r, s 有關。

是否除了二次方程的判別式以外,還有其他的量也具有上述的性質?這變成了不變量理論想要探討的問題。

Cayley 另外還率先考慮了 n 維的幾何空間以及矩陣的理論。

在判別式及其不變量中,我們談到變換 $y\rightarrow\frac{px+q}{rx+s}$。假定我們有兩個這種變換,

\begin{displaymath}
y \rightarrow \frac{px+q}{rx+s} \, ,\, x \rightarrow \frac{Pz+Q}{Rz+S}
\end{displaymath}

連鎖作用之後,我們得到

\begin{displaymath}
y \rightarrow \frac{(pP+qR)z+(pQ+qS)}{(rP+sR)z+(rQ+sS)}
\end{displaymath}

我們將三個變換中的係數寫成三個方陣,

\begin{displaymath}
\left \vert \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array...
...c}
pP+qR & pQ+qS \\
rP+sR & rQ+sS
\end{array} \right \vert
\end{displaymath}

發現前二者連鎖作用之後就會得出第三者,我們用一種「乘法」來表示:

\begin{displaymath}
\left \vert \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array...
...c}
pP+qR & pQ+qS \\
rP+sR & rQ+sS
\end{array} \right \vert
\end{displaymath}

也就是說,第一個方陣中的列乘上第二個方陣中的行,得到第三個方陣中的項。這種方陣叫做矩陣。我們注意到在這種矩陣的乘法下,並不交換。因為

\begin{displaymath}
\left \vert \begin{array}{cc}
P & Q \\
R & S
\end{array...
...
Pp+Qr & Pq+Qs \\
Rp+Sr & Rq+Ss
\end{array} \right \vert .
\end{displaymath}

 
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Cayley
不變量
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高斯
 

(撰稿:林聰源/清大數學系)

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編輯:陳文是 最後修改日期:6/7/2002