Cardano, Girolamo

卡達諾

Cardano（1501～1576）生於義大利 Pavia，卒於羅馬，是義大利米蘭的學者。現在我們稱三次方程的求根公式叫作「Cardano 公式」，這公式其實不是 Cardano 發現的，而是他在1539年從別人那裡騙到的，把它寫入《Ars Magna》（大衍術）書中。他有多方面的才幹，曾寫過一本機率對局的書，這是有關機率論最早的一本書。他性喜賭博，因而對機率產生了興趣。

在解方程 x³=px+q, p>0, q>0 時（當時尚不允許負數），他利用恆等式

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

令 x=a+b, p=3ab, q=a³+b³，後兩式告訴我們 a³ 與 b³ 和與積，因此可解出 a³ 與 b³，

$\begin{displaymath}a^3= \frac {q+ \sqrt {q^2-4(\frac{p}{3})^3} } {2}, b^3= \frac {q- \sqrt {q^2-4(\frac{p}{3})^3} } {2} \end{displaymath}$

而導出解

$\begin{displaymath}x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4}- \frac{p^3}{27} }... ... \sqrt[3] {\frac{q}{2}- \sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27} } } \end{displaymath}$

Cardano 發現，這公式中有一個困難他無法解決，就是當 $(\frac{q}{2})^2 < (\frac{p}{3})^3$ ，公式無可避免地導致一負數的平方根，也就是說，公式牽涉到「虛數」，這個問題直到高斯和 Dirichlet 以後才得到解決。

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（撰稿：林聰源∕清大數學系）

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編輯：楊佳芳 ∕ 校對：楊佳芳

最後修改日期：6/7/2002