向量微積分

Vector Calculus

 

 

微積分基本定理

\begin{displaymath}\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)\end{displaymath}

可以推廣到高維的空間,其中包括了三個著名的定理,即平面上的

Green 氏定理

\begin{displaymath}\int_D \mbox{curl}v\;dA=\int_{\overrightarrow{\partial D}}v\cdot\; dr\end{displaymath}

與空間上的

Stokes 氏定理

\begin{displaymath}\int\int_{\overrightarrow{S}}\mbox{curl} v\cdot n\; dS=\int_{\overrightarrow{\partial S}}v\cdot\; dr\end{displaymath}

散度定理 (divergence theorem)

\begin{displaymath}\int\int\int_E \mbox{div}v\;dV=\int\int_{\partial E}v\cdot n\;dS\end{displaymath}

微積分基本定理中,左邊的積分是函數 f'(x) 在一度空間 R1 中的一個區間 [a,b] 上的積分,而右邊是函數 f(x)[a,b] 的兩個端點 ab 上的取值。Green 氏定理是上述定理在2度空間 R2 上的一種推廣。 這裡 DR2 的一個正則區域,v 是一個連續可微分向量場, v = P(x1,x2)e1 + Q(x1,x2)e2,而 $\mbox{curl}v=\frac{\partial Q}{\partial x_1}-\frac{\partial P}{\partial x_2}$(定義)。是 v 的某種微分, r = x1e1 + x2e2$\overrightarrow{\partial D}$D 的有向邊界。

Green 氏定理是平面上的一個定理,而 Stokes 氏定理則把它推廣到三度空間中的二維曲面 S 上,這裡

\begin{eqnarray*}
v(x_1,x_2,x_3)&=&v_1(x_1,x_2,x_3)e_1+v_2(x_1,x_2,x_3)e_2+v_3(x...
...partial v_2}{\partial x_1}-\frac{\partial v_1}{\partial x_2})e_3
\end{eqnarray*}


散度定理則是三度空間中的一個定理,這裡

\begin{displaymath}\mbox{div} v=\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\frac{\partial v_3}{\partial x_3}\end{displaymath}

在向量積分中我們有以下漂亮的定理:

定理A
DRN 中之一個開集,則對連續可微的向量場 w,存在唯一的純量場 v,使得

\begin{displaymath}\int_D(uv+\nabla u\cdot w)dV=0\end{displaymath}

對所有 u 都成立。而且如果 $w(x)=\sum_{j=1}^Nw_j(x)e_j$,則 $v(x)=\sum_{j=1}^N\frac{\partial}{\partial x_j}w_j(x)$

定理B
vRN 上的一個連續向量場,且對所有 D 中的曲線 $\overrightarrow{C}$$\int_{\overrightarrow{C}}v\cdot dr$ 與路徑無關,則在 D 上存在一個連續可微分的純量場 u 使得 $\nabla u(p)=v(p)$ 對所有 D 中的點 p 成立。這裡 $\nabla$ 是梯度算子, $\nabla u=\frac{\partial u_1}{\partial x_1}e_1+\cdots+\frac{\partial u_N}{\partial x_N}e_N$

以上粗略的說明中,對於函數的連續性以及集合的拓樸性質均有所忽略,讀者可參考教科書上的說明。

 
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微積分基本定理
Green氏定理
Stokes氏定理
散度定理
 

(撰稿:林聰源/清大數學系)

相關網頁:
從醉月湖的面積談起(蔡聰明)
Green 定理與應用(林琦焜)

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編輯:李渭天 最後修改日期:8/30/2001