π

圓周率

 

 

π 這個數字,在許多地方都會出現,在歷史上引起了無數的故事。

早期,人們發現

圓周長:直徑 = 常數

這個常數,就是圓周率 π。

對π作估計,人們得到越來越精確的數值,從早期巴比侖人的 $3\frac{1}{8}$ 到阿基米德利用圓內接正多邊形,計算其邊長,而得到

\begin{displaymath}3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}\end{displaymath}

第五世紀時,祖沖之和他兒子祖 [日恆] 發現

\begin{displaymath}3.1415926<\pi<3.1415927\end{displaymath}

這麼精確的結果,歐洲直到十六世紀才得到。

終究到了1882年,Lindermann 證明了 π 的超越性,在證明中,他用到了歐拉定理:

\begin{displaymath}e^{i\pi}+1=0\end{displaymath}

現在我們可以用嚴格的分析方法定義 π,而導出所有其他與 π 有關的式子。譬如說,我們要算單位圓的面積:

\begin{eqnarray*}
A = 4\int^1_0 \sqrt{1-x^2}dx& &\\
\int^1_0 \sqrt{1-x^2}dx&=...
...&=&\int^1_0 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int^1_0 \sqrt{1-x^2}dx\\
\end{eqnarray*}


所以

\begin{eqnarray*}
\int^1_0\,\sqrt{1-x^2}dx &=& \frac{1}{2}\int^1_0\,\frac{dx}{\s...
...in^{-1}0)\\
&=&\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-0)\\
&=&\frac{\pi}{4}
\end{eqnarray*}


所以

\begin{displaymath}A=\pi\end{displaymath}

出現 π 的幾個實例:

\begin{eqnarray*}
\frac{\pi^2}{6}&=&\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\c...
...{1}{2}(1+\sqrt{\frac{1}{2}(1+\sqrt{\frac{1}{2}})})}\times\cdots}
\end{eqnarray*}


機率論中也會出現 π。Buffon 在1777年提出下列問題:將一長度為 L 的針任意投擲在一水平面上,此平面上畫滿了平行線,其間的距離為 dd 大於 L),那麼針與其中一線相交的機率為何?答案是 $P={\displaystyle \frac{2L}{\pi d} }$

 
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Buffon
 

(撰稿:林聰源/清大數學系)


相關網頁:

你知道超越數嗎?(林聰源)
關於圓周率π (余文卿)
中國π的一頁滄桑 (洪萬生)


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編輯:李渭天 最後修改日期:9/18/2001