平均值定理

Mean Value Theorem

有一部車子，全電腦裝置，有里程儀 (Odometer) 與速率儀 (speedometer)，而且都是用坐標圖形來表達。假設速率儀故障，只剩里程儀。交通警察攔下這部車子，說是超速，駕駛辯稱：我沒有超速，若有的話，請警察先生拿出証據。

警察說：由你的里程儀的圖形知道 $\overline{AB}$ 的斜率大於限速，並且 t₀ 時刻的切線斜率（即車子的速率）等於 $\overline{AB}$ 的斜率，故你在 t₀ 時刻超速。這位警察懂得微積分，上述的論証用到了平均值定理：

平均值定理:

假設

: 1. f 在閉區間 [a,b] 上連續，
: 2. f 在開區間 (a,b) 上可微分。

則存在 $\xi\in (a,b)$ 使得

$\begin{displaymath}f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \mbox{ {\MbQ\char 67} } f(b)=f(a)+f'(\xi)(b-a)\end{displaymath}$

它的特例是 Rolle 定理，但是我們可以利用 Rolle 定理來証明平均值定理，因此，兩者等價。

Rolle 定理:

假設

: 1. f 在閉區間 [a,b] 上連續，
: 2. f 在開區間 (a,b) 上可微分，
: 3. f(a)=0=f(b)。

則存在 $\xi\in (a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=0$

當初 Rolle 觀察到，若多項式方程式 f(x)=0 有 a, b 兩根，即 f(a)=0=f(b)，則方程式 f'(x)=0 在 (a,b) 之中至少存在有一根 ξ，即 $f'(\xi)=0$ 。這是 Rolle 定理的起源。

平均值定理有三個方向之推廣：

泰勒定理:

設 f 在 $(\alpha,\beta)$ 上是直到 n+1 階連續可微分的函數，且 $a\in(\alpha,\beta)$ ，則對任何 $x\in(\alpha,\beta)$ ，f(x) 可以展成下式

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\\ &&+\cdots+\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \end{eqnarray*}$

其中 ξ 為介於 x 與 a 之間的一個數。

註：泰勒定理是對一類相當好的函數作剖析，所得到的函數的結構定理。

Cauchy 的平均值定理:

假設

: (i) f 與 g 在 [a,b] 上連續，
: (ii) f 與 g 在 (a,b) 上可微分，
: (iii) $g'(t)\neq 0,\forall t\in (a,b)$ 。

則存在 $\xi\in (a,b)$ 使得

$\begin{displaymath}\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\end{displaymath}$

註：Cauchy 的平均值定理是 L'Hospital規則的理論基礎。

推廣的平均值定理:

設 f, g, h 在 [a,b] 上連續，在 (a,b) 上可微分，則存在 $\xi\in (a,b)$ 使得行列式

$\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}{ccc} f(a)&f(b)&f'(\xi)\\ g(a)&g(b)&g'(\xi)\\ h(a)&h(b)&h'(\xi) \end{array}\right\vert =0 \end{displaymath}$